< と ≤ の関係

1. ≤ から <
   ≤ を半順序関係とするとき， < は次のように定義される．

   (1)　　　 x < y  ⇔  x ≤ y かつ y ≰ x   (⇔ x ≤ y かつ x ≠ y)．

   （「x ≤ y かつ y ≰ x   ⇔ x ≤ y かつ x ≠ y」 の証明）．
   この < は， 非反射的， 反対称的， かつ推移的な関係である．
   ここで，関係 < が非反射的 (irrefexive) であるとは，

   ∀x (x ≮ x)

   を満たすことを言う．
   関係 < が推移的であることは， ハンドアウト「事前資料」命題 4.1 (iii) (c) で見た．（その証明）
   
   演習問題： 半順序関係 ≤ から (1) で定まる関係 < が非反射的 かつ 反対称的 であることを証明せよ．
   解答：　非反射性の証明　 反対称性の証明　
   
   
2. < から ≤
   < を 非反射的， 反対称的， かつ推移的な関係とすると， (2) で定まる関係 ≤ は半順序になる．

   (2)　　　 x ≤ y 　⇔　 x < y または x = y．

   演習問題： 上のことを証明せよ．
   解答：　証明　
   
   
3. ≤ を元にして (1) により定義した < に，(2) を適用すると元の ≤ に戻る
   証明 　 元の ≤ と区別するため，

   x ≤′ y 　⇔　 x < y または x = y

   として，これに (1) と 「x = y ⇔ ( x ≤ y かつ y ≤ x )」 を代入すると，

   x ≤′ y	⇔　 x < y または x = y
   	⇔　 ( x ≤ y かつ y ≰ x ) または (x ≤ y かつ y ≤ x )
   	⇔　 x ≤ y かつ ( y ≰ x または y ≤ x )
   	⇔　 x ≤ y かつ T
   	⇔　 x ≤ y

4. < を元にして (2) により定義した ≤ に，(1) を適用すると元の < に戻る
   証明 　 元の < と区別するため，

   x <′ y 　⇔　 x ≤ y かつ y ≰ x

   として，これに (2) を代入すると，

   x <′ y	⇔	x ≤ y かつ y ≰ x
   	⇔	(x < y または x = y ) かつ ¬ (y < x または y = x )
   	⇔	(x < y または x = y ) かつ y ≮ x かつ y ≠ x
   	⇔	( x < y かつ y ≮ x かつ y ≠ x ) または ( x = y かつ y ≮ x かつ y ≠ x )
   	⇔	( x < y かつ y ≮ x かつ y ≠ x ) または F
   	⇔	x < y かつ y ≮ x かつ y ≠ x
   	⇔	x < y かつ y ≠ x
   		(∵　反対称律より x < y かつ y ≠ x ⇒ y ≮ x )
   	⇔	x < y
   		(∵　非反射律より x < y ⇒ y ≠ x )