「x ≤ y かつ y ≰ x   ⇔ x ≤ y かつ x ≠ y」 の証明

(⇒)

もし x = y であるとすると， ≤ の反射律より y ≤ x となるので， 仮定 y ≰ x に反する． よって， x ≠ y でなければならない．

(⇐)

もし y ≤ x であるとすると， これと 仮定の x ≤ y に ≤ の反対称律を適用して x = y となるので， 仮定 x ≠ y に反する． よって y ≰ x でなければならない．