[開設 07/03/23=MM/DD/YY]
非反射性の証明
半順序関係 ≤ から
(1)
x < y
⇔
x ≤ y かつ
y ≰ x
で定まる < が
非反射的であることを証明する．
ここで，関係 < が非反射的 (irrefexive) であるとは，
∀x (x ≮ x)
を満たすことを言う．
ここでは，
≤ がどんな関係であっても（半順序であってもなくても），
< が非反射的であることを証明しよう．
-
証明
-
背理法による．
ある x について x < x とすると，
< の定義より
「x ≤ x かつ
x ≰ x 」
である．
命題の形（矛盾律）より，この命題は偽である．
(Q.E.D.)
< の非反射性の証明
< の反対称性の証明
< と ≤ の関係
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