反対称性の証明

(1)　　　 x < y 　⇔　 x ≤ y かつ y ≰ x

証明

 x と y を任意に固定する． x < y かつ y < x とすると， < の定義より， x < y から

x ≤ y かつ y ≰ x，

y < x から

y ≤ x かつ x ≰ y

である． 明らかにこれらは矛盾する． つまり 「x < y かつ y < x」は偽なので， 「x < y かつ y < x ならば，x = y」は真である． したがって， < は反対称的である． 　　(Q.E.D.)