命題 4.1 の証明

(i)   x ≰ y ⇔ (x > y   または   x と y が比較不能).

(⇒) x ≰ y を仮定する． 「x > y または， x と y が比較不能」 を示すには， 「x と y が比較不能」でないとして， x > y を導けばよい．
「x と y が比較不能」でないとすると， x と y は比較可能なので， x ≤ y または y ≤ x である． 仮定から x ≤ y ではないので， y ≤ x である． よって， y ≤ x かつ x ≰ y なので， < の定義から y < x， すなわち x > y である．
以上で， x ≰ y ならば， 「x と y が比較不能」または x > y が言えた．

(⇐) まず， x > y を仮定する． > の定義から x ≥ y かつ y ≱ x なので， x ≰ y である．
次に， x と y が比較不能であると仮定する． すると， 比較不能性の定義と de Morgan 律から x ≰ y かつ y ≰ x なので， 後者から明らかに x ≰ y である．
よって， いずれにしろ x ≰ y なので， 結局， x > y または 「x と y が比較不能」 ならば， x ≰ y である．

(ii)   x ≤ y ⇒ x < y または x = y.

(⇒) x ≤ y を仮定する． 「x = y または x < y」 を示すには， 「x = y でないなら x < y であること」 を示せばよい． そして， x = y でないなら 仮定 x ≤ y と 関係 < の定義から 明らかに x < y である．

(⇐) x < y のときは， 関係 < の定義から x ≤ y かつ y ≰ x なので， x ≤ y である． x = y のときは， ≤ の反射律より x ≤ y となる． よって，いずれにしろ x ≤ y である．

(iii)

(a)   x ≤ y, y < z   ⇒   x < z.

証明． x ≤ y と y < z を仮定する． 仮定 y < z と関係 < の定義より y ≤ z であるから， 仮定 x ≤ y と 今の y ≤ z に ≤の推移律を適用して

x ≤ z

となる． ここで， もし z ≤ x だとすると， これと 仮定 x ≤ y に≤の推移律を適用して z ≤ y となるが， この結果は 仮定 y < z と 関係 < の定義に反する． よって，

z ≰ x

でなければならない． これと， 先ほどの x ≤ z に 関係 < の定義を適用して，

x < z

となる．

(b)   x < y, y ≤ z   ⇒   x < z.

 x < y と y ≤ z を仮定する． 仮定 x < y と関係 < の定義より x ≤ y であるから， 仮定 y ≤ z とこれ に ≤の推移律を適用すると

x ≤ z

となる． ここで， もし z ≤ x だとすると， 仮定 y ≤ z とこれ に≤の推移律を適用すると y ≤ x となるが， この結果は 仮定 x < y と 関係 < の定義に反する． よって，

z ≰ x

でなければならない． これと， 先ほどの x ≤ z に 関係 < の定義を適用して，

x < z

となる．

(c)   x < y, y < z   ⇒   x < z.

 x < y と y < z を仮定する． 仮定 x < y と関係 < の定義より x ≤ y であるから， 上の (a) の仮定が満たされる． よって， (a) より x < z となる．