< から半順序 ≤ が構成できることの証明

(2)　　　 x ≤ y 　⇔　 x < y または x = y．

証明

（反射性）

x を任意に固定する． x = x だから 「x < x または x = x」 は真なので， x ≤ x である．

（反対称性）

x と y を任意に固定する．
　

x ≤ y かつ y ≤ x
	⇔	(x < y または x = y)
		かつ (y < x または y = x)	(∵ ≤ の定義)
	⇔	(x < y かつ y < x)
		または (x < y かつ y = x)
		または (x = y かつ y < x)
		または (x = y かつ y = x)	(∵ 分配律)
	⇔	F または F または F
		または x = y	(∵ 非反射律，= の対称律)
	⇔	x = y .	(∵ F の消去律，ベキ等律)

（推移性）

x, y, z を任意に固定する．

x ≤ y かつ y ≤ z
	⇔	(x < y または x = y)
		かつ (y < z または y = z)	(∵ ≤ の定義)
	⇔	(x < y かつ y < z)
		または (x < y かつ y = z)
		または (x = y かつ y < z)
		または (x = y かつ y = z)	(∵ 分配律)
	⇒	x < z または x < z または x < z
		または x = z	(∵ < の推移律，代入，= の推移律)
	⇔	x < z または x = z	(∵ ベキ等律)
	⇔	x ≤ z .	(∵ ≤ の定義)

(Q.E.D.)