分配律と分配束

定義

下の分配律 (distributive law) を満たす束 (L, ∨, ∧) を分配束 (distributive lattice)

分配律 (∨∧) : ∀ x, y, z ∈ L ;   x ∨ (y ∧ z)  =  (x ∨ y) ∧ (x ∨ z),
分配律 (∧∨) : ∀ x, y, z ∈ L ;   x ∧ (y ∨ z)  =  (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).

命題 1

集合束は分配束である．

証明．

（合併集合と共通集合の演算の間に分配律が成り立つことは高校で学習済み）

命題 2

全順序集合は分配束である．

証明はこちら．

命題 3

(ℕ, lcm, gcd) と (D_m, lcm, gcd) は 分配束である．

証明はこちら．

例 1

左下のHasse 図 の 束 M₃ は 分配束ではない． 実際， a ∨ (b ∧ c) = a ∨ O = a,   (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I．

問

右上図の束 N₅ が分配束でないことを示せ．   解答．

例 2

n ≥ 2 のとき， ℝⁿ の線形部分空間全体からなる束 (S_n, ⊆) は 分配束ではない． 実際， a, b, c を互いに 異なる 1 次元線形部分 空間で， 同じ 2 次元線形部分空間上にあるとすると， { {0}, a, b, c, a ∨ b ∨ c } は S_n の部分束であり， M₃ と 同形になるからである．

命題 4

分配束の部分束はまた分配束である．

証明

定義から明らか．

命題 5

任意の束 L において 2 つの分配律 (∨∧) と (∧∨) は同値である．

証明はこちら．

命題 6

任意の束において， 以下の式が成り立つ（下の 2 式は分配不等式と呼ばれることがある）．

1. x ∨ (y ∧ z)  ≤  (x ∨ y) ∧ (x ∨ z).
2. x ∧ (y ∨ z)  ≥  (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).

証明はこちら．