[開設 07/27/23=MM/DD/YY]

命題 5 「任意の束 L において 2 つの分配律 (∨∧) と (∧∨) は同値である」の証明

証明双対原理から (∨∧) ⇒ (∧∨) を示せば十分である．

(x ∧ y) ∨ (x ∧ z) = [(x ∧ y) ∨ x] ∧ [(x ∧ y) ∨ z] (∵ 分配律 (∨∧))

= x ∧ [z ∨ (x ∧ y)] (∵ 交換律と吸収律)

= x ∧ [(z ∨ x) ∧ (z ∨ y)] (∵ 分配律 (∨∧))

= [x ∧ (z ∨ x)] ∧ (z ∨ y) (∵ 結合律)

= x ∧ (y ∨ z). (∵ 交換律と吸収律)

(Q.E.D.)

「分配律と分配束」命題 5

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(x ∧ y) ∨ (x ∧ z)	=	[(x ∧ y) ∨ x] ∧ [(x ∧ y) ∨ z]	(∵ 分配律 (∨∧))
	=	x ∧ [z ∨ (x ∧ y)]	(∵ 交換律と吸収律)
	=	x ∧ [(z ∨ x) ∧ (z ∨ y)]	(∵ 分配律 (∨∧))
	=	[x ∧ (z ∨ x)] ∧ (z ∨ y)	(∵ 結合律)
	=	x ∧ (y ∨ z).	(∵ 交換律と吸収律)