直積順序

{(X_λ, ≤_λ)} _λ∊Λ を半順序集合の族とし， それらの直積 ∏_λ∊Λ X_λ を考える （参考：集合族の直積）．
直積の要素 x=(x_λ)_λ∊Λ, y=(y_λ)_λ∊Λ∊∏_λ∊Λ X_λ に対して，

x ≤ y   ⇔   x_λ ≤_λ y_λ 　∀λ∊Λ

問

直積順序 ≤ が ∏_λ∊Λ X_λ 上の半順序であることを示せ． 　解答