集合族の直積

例 1

 X₁ = {x_1,1, x_1,2, x_1,3}， X₂={x_2,1, x_2,2}， Λ={1, 2} とし， 写像 f : Λ→ X₁∪X₂ で， 条件 f(1)∊X₁， f(2)∊X₂ を満たすものを考える． そのような写像は全部で 6 通りある． 値 f(1) の取り方が |X₁| = 3 通り， 値 f(2) の取り方が |X₂| = 2 通り なので，3×2=6 通りである． それらの写像を全部 書くと下のようになる．

f1,1(1)=x1,1,	f1,1(2)=x2,1,
f1,2(1)=x1,1,	f1,2(2)=x2,2,
f2,1(1)=x1,2,	f2,1(2)=x2,1,
f2,2(1)=x1,2,	f2,2(2)=x2,2,
f3,1(1)=x1,3,	f3,1(2)=x2,1,
f3,2(1)=x1,3,	f3,2(2)=x2,2.

これらと X₁ と X₂ の直積

X1×X2 = { (x1,1, x2,1), (x1,1, x2,2), (x1,2, x2,1), (x1,2, x2,2), (x1,3, x2,1), (x1,3, x2,2) }

の間に 自然な 1 対 1 対応 が あるのは解かるだろうか？
その 1 対 1 対応は， もちろん

f1,1	↔	(x1,1, x2,1)
f1,2	↔	(x1,1, x2,2)
f2,1	↔	(x1,2, x2,1)
f2,2	↔	(x1,2, x2,2)
f3,1	↔	(x1,3, x2,1)
f3,2	↔	(x1,3, x2,2)

である．

例 2

 X₁， X₂， . . . ， X_n を集合とし， Λ={1, 2, . . . , n} とする． 写像 f : Λ→ ∪_i=1ⁿ X_i で， 条件 ∀i∊Λ ; f(i)∊X_i を満たすものの全体を P とする． つまり

P = { f | f ：Λ → ∪_i=1ⁿX_i ， ∀i∊Λ ; f(i)∊X_i }

である． 例 1 と同様に P と 直積 ∏₁₌₁ⁿ X_i の間に 自然な 1 対 1 対応 がある． つまり，

f∊P に対して， ( f(1), f(2), . . . , f(n) ) ∊ ∏₁₌₁ⁿ X_i が対応し，
( x₁, x₂ . . . , x_n ) ∊ ∏₁₌₁ⁿ X_i に対して， f(i)=x_i (i=1, 2, . . . , n) なる f∊P が対応

するのである．
数学では， 自然な 1 対 1 対応 があるものどうしは同一視されるので， 上の P も 直積 ∏₁₌₁ⁿ X_i と同一視される．

定義

集合族 {x_λ}_λ∊Λ の直積 ∏_λ∊ΛX_λ は

∏_λ∊ΛX_λ = { x | x ：Λ → ∪_λ∊ΛX_λ， ∀λ∊Λ； x(λ)∊X_λ }

で定義される （都合上， 写像の記号に f でなく x を用いる）． x∊∏_λ∊ΛX_λ のとき， x(λ) を x_λ と書き， x の λ 成分 (component) または λ 座標 (coordinate) という． また， x∊∏_λ∊ΛX_λ を {x_λ}_λ∊Λ や {x_λ}， (x_λ)_λ∊Λ ， (x_λ) などとも書く．

例 3

すべての λ∊Λ について X_λ=X のとき

∏_λ∊ΛX_λ = X^Λ .

右辺は， Λ から X への写像全体からなる集合 X^Λ= {x | x ：Λ→X} である．

定義

直積 ∏_λ∊ΛX_λ と μ∊Λ に対して

pr_μ( (x_λ)_λ∊Λ) = x_μ

で定まる 写像 pr_μ：∏_λ∊ΛX_λ → X_μ を 第 μ 座標への 射影 (projection) という．