[開設 07/03/23=MM/DD/YY]
集合の直積
定義 1
並べる順序に意味のある
n 個の対象の組
(a1, a2, . . . ,
an)
を
[順序(ordered)]n項組(n-tuple)と呼ぶ．
n項組どうしの相等は下式で定義される．
(a1, a2, . . . ,
an)
=
(b1, b2, . . . ,
bn)
⇔
a1=b1,
a2=b2, . . . ,
an=bn
定義 2
（n 個の集合
X1，
X2，
. . . ，
Xn
の直積
∏i=1n
Xi
は下式で定義される．
∏i=1n
Xi
=
{(x1, x2, . . . ,
xn) |
x1∊X1,
x2∊X2, . . . ,
xn∊Xn}
X1=X2= • • •
=Xn=X
のとき，
∏i=1n
Xi
を
Xn
と書く．
なお，
∏i=11
Xi
=
X1
であり，
X1
=X
である．
例 1
X1={a, b},
X2={1, 2, 3},
X3={α, β}
のとき，
∏i=13
Xi
={(a, 1, α),
(a, 1, β),
(a, 2, α),
(a, 2, β),
(a, 3, α),
(a, 3, β),
(b, 1, α),
(b, 1, β),
(b, 2, α),
(b, 2, β),
(b, 3, α),
(b, 3, β)}.
命題 1
X1，
X2，
. . . ，
Xn が すべて有限集合のとき，
| ∏i=1n
Xi |
=
∏i=1n
| Xi |.
定義 3
Xi≠∅
(i=1, 2, . . ., n)
とする．
直積 ∏i=1n
Xi
と 1≤k≤n なる整数 k に対して
prk
：(x1, x2, . . .,
xn) → xk
で定まる写像 prk
：∏i=1n
Xi → Xk
を第 k 座標への射影という．
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