[開設 07/03/23=MM/DD/YY]

「直積順序」の問の解答

{(Xλ, ≤λ)} λ∊Λ を半順序集合の族とし， それらの直積 ∏λ∊Λ Xλ を考える （参考：集合族の直積）．
直積の要素 x=(xλ)λ∊Λ, y=(yλ)λ∊Λ∊∏λ∊Λ Xλ に対して，
x ≤ y   ⇔   xλ ≤λ yλ 　∀λ∊Λ
と定めると， ≤ は 直積 ∏λ∊Λ Xλ 上の半順序になる．
証明．
（反射律）． x=(xλ)λ∊Λ∊∏λ∊Λ Xλ を任意に固定する． すべてのλ∊Λについて ≤λ が反射律を満たすことから， xλ ≤λ xλ ∀λ∊Λ なので， ≤ の定義より x ≤ x である．
（反対称律）． x=(xλ)λ∊Λ, y=(yλ)λ∊Λ∊∏λ∊Λ Xλ に対して， x ≤ y かつ y ≤ x と仮定する． すると， ≤ の定義より xλ ≤λ yλ ∀λ∊Λ かつ yλ ≤λ xλ ∀λ∊Λ である． すべてのλ∊Λについて ≤λ が反対称律を満たすことから， xλ = yλ ∀λ∊Λ である． よって， x = y．
（推移律）． x=(xλ)λ∊Λ, y=(yλ)λ∊Λ, z=(xλ)λ∊Λ∊∏λ∊Λ Xλ に対して， x ≤ y かつ y ≤ z と仮定する． すると， ≤ の定義より xλ ≤λ yλ ∀λ∊Λ かつ yλ ≤λ zλ ∀λ∊Λ である． すべてのλ∊Λについて ≤λ が推移律を満たすことから， xλ = zλ ∀λ∊Λ である． よって， ≤ の定義より x ≤ z．
(Q.E.D.)
直積順序
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