上限 H1 ∨ H2 のイメージ図
上図では H1 と H2 は ともに 3 次元 Euclid 空間 ℝ3 における 1 次元線形部分空間．
(H1 ∪ H2)⊥ は H1 と H2 に垂直な 1 次元線形部分空間となり，
その直交補空間が (H1 ∪ H2)⊥⊥ であり， これは H1 + H2 に等しい．
そして，これが {H1, H2} の上限 H1 ∨ H2 である．
G = M = ℝn,とおくと， I は G = M = ℝn 上の 対称な2項関係なので， ′ : 2G → 2M も ′ : 2M → 2G も 同じ操作になり， S ⊆ ℝn に対して
gIm ⇔ g⊥m
S ′ = {m∊ℝn | ∀g∊S; gIm} = {m∊ℝn | ∀g∊S; g⊥m} = S⊥であった． また， G = M と I の対称性より， BG = BM であることが解る．
BG = BM = {S⊥⊥ | S ⊆ ℝn} ⊆ Snである． 一方， H が線形部分空間のとき H = H⊥ だから，
Sn = {H | H は線形部分空間} = {H⊥⊥ | H は線形部分空間} ⊆ {H⊥⊥ | H ⊆ ℝn} = BG = BMである． 以上から， BG = BM = Sn．
H1 ∨ H2 = H1 + H2で， 例 7 より (BG, ⊆) における結びは
H1 ∨ H2 = (H1 ∪ H2)″ = (H1 ∪ H2)⊥⊥で与えられ， 今 BG = Sn であるから，
H1 + H2 = (H1 ∪ H2)⊥⊥であることが解る．
G = M = ℝn,（ただし，‹g,m› は g と m の内積） とおくと， I は G = M = ℝn 上の 対称な2項関係で， ′ : 2G → 2M も ′ : 2M → 2G も 極錐を取る操作 S ↦ S∗ になる． つまり， S ⊆ ℝn に対して
gIm ⇔ ‹g,m› ≤ 0
S ′ = {m∊ℝn | ∀g∊S; gIm} = {m∊ℝn | ∀g∊S; ‹g,m› ≤ 0} = S∗であった． このとき， BG = {S∗∗ | S ⊆ ℝn} (= BM) は， 閉凸錐の全体からなる族に一致する． 閉凸錐も極錐と同様に， 凸解析（非線形最適化などに用いられる分野）などに現れる重要な概念である．
