[開設 07/20/23]
例 13 から見た例 16
配付資料「半順序関係」の例 16 は例 13 と密接な関係がある．
まず，
直交補空間 H⊥
= {x∊ℝn | ∀y∊H; x⊥y}
は，
H が線形部分空間でなくても定義できる——つまり，
H が ℝn の一般の部分集合の場合でも
定義できる——ことに注意されたい．
そして，
H1 と H1 がℝn の一般の部分集合の場合でも，
(∗)
H1⊆H2 ⇒ H2⊥⊆H1⊥
が成り立つ．
このことは，
例 13 の特殊ケースになっている．
実際，
例 13 において，
G = M = ℝn,
gIm ⇔ g⊥m
とおくと，
A⊆G に対して
A′ =
{m∊M | ∀g∊A; gIm}
= {m∊ℝn | ∀g∊A; g⊥m}
= A⊥,
B⊆M に対して
B′ =
{g∊G | ∀m∊B; gIm}
= {g∊ℝn | ∀m∊B; g⊥m}
= B⊥
となる．
よって，
例 13 の証明で示したように
A1⊆A2 ⇒ A2′⊆A1′
であるから，
(∗) が成り立つ．
おまけ（発展）：極錐
例 13 の操作は，
数学において，
直交補空間の他にも しばしば現れる．
ここでは，凸解析（非線形最適化などに用いられる分野）などに
現れる概念である極錐について，その定義だけを紹介する．
例 13 において，
G = M = ℝn,
gIm ⇔ ‹g,m› ≤ 0
（ただし，‹g,m› は g と m の内積）
とおくと，
上の直交補空間の場合と同様に，
I は G = M = ℝn 上の
対称な2項関係になるので，
′ : 2G → 2M も
′ : 2M → 2G も
同じ操作になる．
この場合の
S⊆ℝn に対する
S ′ を S∗ と書き，
S の極錐 (polar cone) という．
すなわち，
S∗
=
{ x∊ℝn |
∀y∊S; ‹x,y› ≤ 0}
である．
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