[開設 07/27/23=MM/DD/YY]
「束の直積」の問の解答
{(Lλ, ≤λ)}
λ∊Λ
を束の族とするとき，
直積順序 ≤ を持った
直積 (∏λ∊Λ
Lλ, ≤)
は束になり，
直積の要素
x=(xλ)λ∊Λ,
y=(yλ)λ∊Λ∊∏λ∊Λ
Lλ
に対して
(∗)
x
∨
y
=
(xλ∨λyλ)λ∊Λ,
x
∧
y
=
(xλ∧λyλ)λ∊Λ
（ここで ∨λ と ∧λ は それぞれ (Lλ, ≤λ) における結びと交わり）
が成立する．
証明．
(∗) を示せばよい．
双対原理より第一式のみ示せば十分である．
x
=
(xλ)λ∊Λ,
y
=
(yλ)λ∊Λ∊∏λ∊Λ Lλ
に対して z
=
(xλ∨λyλ)λ∊Λ
とおく．
このとき，
任意の λ∊Λ に対して xλ ≤λ xλ∨λyλ
なので，直積順序の定義から x ≤ z である．
同様に y ≤ z も言えるので，
z は {x, y} の上界である．
次に，u =
(uλ)λ∊Λ∊∏λ∊Λ Lλ
を {x, y} の任意の上界とする．
すなわち，
x ≤ u かつ y ≤ u とする．
すると直積順序の定義から，
任意の λ∊Λ に対して，
xλ ≤λ uλ かつ yλ ≤λ uλ
なので xλ∨λyλ
≤λ uλ である．
よって，再び直積順序の定義から z ≤ u となる．
以上で，
z =
(xλ∨λyλ)λ∊Λ
が {x, y} の上界の最小元であることが言えたので，
(xλ∨λyλ)λ∊Λ =
x
∨
y
である．
(Q.E.D.)
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