集合族の例： 分割

集合族 P  は， 次の条件 (P1), (P2) を満たすとき， 集合 A の 分割 (partition, decomposition) であるという．

(P1)   ∪ P  = A,

(P2)   任意の P, P′ ∈ P  について， P ∩ P′ ≠ ∅ ⇒ P = P′.   [ 対偶： 任意の P, P′ ∈ P  について， P ≠ P′ ⇒ P ∩ P′ = ∅. ]

(P3)   ∅ ∉ P

例   X = {a, b} の分割は下の 4 個である （なお，条件 (P3) の下では P ₁ と P ₂ の 2 つだけ）．

P ₁ = { {a}, {b} },   P ₂ = { {a, b} },   P ₃ = { ∅, {a}, {b} },   P ₄ = { ∅, {a, b} }.

命題   集合 A の分割は，集合 A の被覆でもある． （分割と被覆の定義から明らか．被覆については「集合族の例： 被覆」を参照．）