[開設 07/03/23=MM/DD/YY]

擬順序（前順序）

反射律と推移律を満たす 2項関係を 擬順序 (pseudo-order) または 前順序 (preorder) と言う．
擬順序は，半順序から反対称律の仮定を除いたものである．

例 1: X を有限集合とし， A, B∈2^X に対して，
A ≲ B 　⇔　 |A| ≤ |B| 　　　（|A| は A の要素数）
とおくと， ≲ は 2^X 上の擬順序になる．

例 2: ( x₁, x₂, x₃ ), ( y₁, y₂, y₃ )∈ ℝ³ に対して，
( x₁, x₂, x₃ ) ≲ ( y₁, y₂, y₃ ) 　⇔　 (x₁+x₂)/2 ≤ (y₁+y₂)/2 かつ x₃ ≤ y₃
（例えば，数学，理科，英語の 3 科目の試験で受験者を評価するときに，理科系 2 科目は得点の平均値で評価する）
ℝ³ 上の関係 ≲ は擬順序であり，比較可能性を満たさない．例えば， (30,70,60) と (80,40,50) は比較不能である．

さて， ≲ を X 上の擬順序とするとき，

x∼y 　⇔　 x≲y かつ y≲x

と定めると， ∼ は X 上の同値関係になる．
直観的に言うと， x∼y とは， x と y が ≲ に関して同レベルということである．

商集合 X/∼ 上に 2項関係 ≤_∼ を

[x] ≤_∼ [y] 　⇔　 x≲y

と定めることができて， ≤_∼ は X/∼ 上の半順序（擬順序ではない）になる．

問 2: 上の定義によって ≤_∼ を明確に定めることができること，つまり
[x]=[x′] かつ [y]=[y′] のとき， x≲y ⇔ x′≲y′
であることを示せ．　解答
問 3: ≤_∼ が X/∼ 上の半順序であることを示せ．　解答