「擬順序（前順序）」の問の解答

問 1

（反射律）

任意に x∈X を固定する． ≾ の反射性より x≾x である． よって， ∼ の定義から x∼x となる．

（対称律）

x∼y  ⇔  x≾y かつ y≾x  ⇔  y≾x かつ x≾y  ⇔  y∼x .

（推移律）

x∼y かつ y∼z と仮定する． ∼ の定義より， x≾y かつ y≾x であって， y≾z かつ z≾y である． x≾y と y≾z に ≾ の推移性を適用すると x≾z となる． 同様に z≾y と y≾x に ≾ の推移性を適用すると z≾x となる． したがって， ∼ の定義から x∼z である．

問 2

[x]=[x′] かつ [y]=[y′] と仮定する． 同値類の定義より x∼x′ かつ y∼y′ である． そして ∼ の定義より， x≾x′ かつ x′≾x であって， y≾y′ かつ y′≾y である．
さて， x≾y とすると， x′≾x と x≾y と y≾y′ に ≾ の推移性を適用すれば x′≾y′ となる． よって， x≾y ⇒ x′≾y′ である． 逆も同様に示せるので， x≾y ⇔ x′≾y′ である．

問 3

（反射律）

任意の [x]∈X/∼ に対して， x≾x であるから， ≤_∼ の定義より [x]≤_∼[x] となる．

（反対称律）

[x]≤_∼[y] かつ [y]≤_∼[x] とすると， ≤_∼ の定義より x≾y かつ y≾x である． ∼ の定義より x∼y となるので， [x]=[y] である．

（推移律）

[x]≤_∼[y] かつ [y]≤_∼[z] とすると， ≤_∼ の定義より x≾y かつ y≾z である． ≾ の推移性より x≾z となるので， ≤_∼ の定義より [x]≤_∼[z] である．