[開設 07/03/23=MM/DD/YY]

分割間の順序

P と Q を集合 X の分割とするとき，

P ⊑ Q 　⇔　 ∀P∊P ∃Q∊Q s.t. P⊆Q

と定める．
P ⊑ Q のとき，「P は Q の細分 (refinement) である」と言う．また，「P は Q より細かい」とか，「Q は P より粗い」などとも言う．

例 1

X = { a, b, c, d } とするとき，例えば

{ {a}, {b}, {c}, {d} } ⊑ { {a}, {b}, {c,d} }

⊑ { {a,b}, {c,d} } ⊑ { {a,b,c,d} }

である．

ℙ_X を集合 X の分割全体の族，すなわち

ℙ_X = {P ∊2^{(2^X)} | P は X の分割 }

とする（ただし，空集合∅は分割の構成要素にはならないとする．つまり， P が X の分割ならば ∅∉P ）．

定義から明らかに， { X } が最も粗い分割であり， { {x} | x∊X } が最も細かい分割である．つまり，任意の P ∊ℙ_X について，

{ {x} | x∊X } ⊑ P ⊑ { X }

となっている．

次の命題が成り立つ．

問 1

命題 1 を証明せよ．　解答

問 2

X = { a, b, c } とするとき， (ℙ_X, ⊑) の Hasse 図を描け．　解答

上の例からも想像できるように， P ⊑ Q ならば任意の Q∊Q は P のいくつかの構成要素の合併になっているし，また，その逆も成り立つ．すなわち，次の命題が成り立つ．

{ {a}, {b}, {c}, {d} }	⊑	{ {a}, {b}, {c,d} }
	⊑	{ {a,b}, {c,d} }	⊑	{ {a,b,c,d} }