「分割間の順序」の問の解答

問 1

（反射律）

P ∊ℙ_X とする． 任意の P∊P に対して P⊆P だから， ⊑ の定義より P ⊑ P である．

（反対称律）

P, Q ∊ℙ_X， P ⊑ Q， Q ⊑ P とする． まず P ⊆Q を示す． 任意に P∊P を固定する． 仮定より P≠∅ である． P ⊑ Q より， P⊆Q となる Q∊Q が存在する． すると Q ⊑ P より， Q⊆P′ となる P′∊P が存在する． いま， P≠∅ であって P⊆Q⊆P′ だから， P∩P′=P≠∅ である． このことと P が分割であることより， P=P′ となる． そして， このことと P⊆Q⊆P′ より P=Q となり， Q∊Q だったから P∊Q である． 以上で P ⊆Q が言えた． 同様の議論により Q ⊆P も言えるので， P =Q である．

（推移律）

P, Q, R ∊ℙ_X， P ⊑ Q, Q ⊑ R とする． 任意に P∊P を固定する． P ⊑ Q より， P⊆Q となる Q∊Q が存在する． すると Q ⊑ R より， Q⊆R となる R∊R が存在する． P⊆Q かつ Q⊆R だから， P⊆R である． よって， ⊑ の定義より P ⊑ R である．

問 2

X = { a, b, c } とするとき， (ℙ_X, ⊑) の Hasse 図を描け．
（下の図は，ブラウザによっては きれいに表示されない場合があります）．

　　　　　　　　　　{ {a,b,c} }
　　　　　　　　　　　／｜＼
　　　　　　　　　　／　｜　＼
　　　　　　　　　／　　｜　　＼
　　　　　　　　／　　　｜　　　＼
　　　　　　　／　　　　｜　　　　＼
　{ {a}, {b,c} } 　{ {a,c}, {b} } 　{ {a,b}, {c} }
　　　　　　　＼　　　　｜　　　　／
　　　　　　　　＼　　　｜　　　／
　　　　　　　　　＼　　｜　　／
　　　　　　　　　　＼　｜　／
　　　　　　　　　　　＼｜／
　　　　　　　　　{ {a}, {b}, {c} }

問 3

∀P∊P ∃Q∊Q s.t. P⊆Q 　⇔　 ∀Q∊Q ∃P_Q⊆P s.t. Q = ∪ P_Q 　 を示せばよい．

(⇒)

任意に Q∊Q を固定し，

P_Q = { P∊P | P⊆Q }

とおく． P_Q の定義と合併集合の定義より， ∪P_Q ⊆ Q である．
あとは逆の包含関係を示せばよい． 任意に x∊Q を固定する． P は X の分割なので x∊P となる P∊P が存在する． すると仮定より P⊆Q_P なる Q_P∊Q が存在する． x∊P と P⊆Q_P より x∊Q_P である． よって x∊Q∩Q_P なので Q∩Q_P≠∅ である． Q は分割だったので， このことから Q_P=Q となる． よって P⊆Q_P=Q より P∊P_Q であるから， x∊P⊆∪P_Q となる． 以上で Q⊆∪P_Q が言えたので， 結局 Q=∪P_Q である．

(⇐)

任意に P∊P を固定する． P≠∅ だから x∊P なる x が存在する． Q は X の分割なので， x∊Q なる Q∊Q が存在する． すると仮定より ある P_Q⊆P が存在して Q=∪P_Q となる． x∊Q=∪P_Q より x∊P_Q なる P_Q∊P_Q⊆P が存在する． いま x∊P∩P_Q だから， P∩P_Q≠∅ である． P は分割だったので， このことから P_Q=P となる． よって P=P_Q∊P_Q だから， P⊆∪P_Q=Q となる． 　(Q.E.D.)