[開設 07/03/23=MM/DD/YY]
付帯条件つき限定命題に関する注意
「∀x∈A; P(x)
⇒
∃x∈A; P(x)」
など一部の法則は，A が空集合のときには成り立たない．
ハンドアウトの§1 では，限定命題で限定する変数の変域を制限する方法について説明し，de Morgan 律
￢∀x∈A; P(x)
⇔
∃x∈A; ￢P(x),
￢∃x∈A; P(x)
⇔
∀x∈A; ￢P(x)
が成立することなど， 変域を制限しない限定命題と同様の性質を持つことを述べた．
しかし，ある特殊な場合には，変域を制限しない限定命題で成り立つ法則が
成り立たないことがあるので，注意しなければならない．
それは，例えば
∀x∈A; P(x)
⇒
∃x∈A; P(x)
である．これは，
集合 A が空集合でなければ成り立つが，
A が空集合のときには成り立たない．
集合 A が空集合でないときに成り立つのは，変域を制限しない場合
∀x P(x)
⇒
∃x P(x)
が成り立つのと同様である．
集合 A が空集合のときについて考えてみよう．
∀x∈A; P(x)
は
∀x ( x∈A ⇒ P(x) )
のことだった．
A が空集合ならば x が何であっても
x∈A は偽だから，条件命題の真理値表より
∀x ( x∈A ⇒ P(x) )
は真，すなわち
∀x∈A; P(x)
は真である．
一方，
∃x∈A; P(x)
は
∃x ( x∈A ∧ P(x) )
のことだった．
A が空集合ならば x が何であっても
x∈A は偽だから，∃x ( x∈A ∧ P(x) )
は偽，すなわち
∃x∈A; P(x)
は偽である．
P ⇒ Q
とは
P が真のときは必ず
Q も真となることだったから，
結局，
∀x∈A; P(x)
⇒
∃x∈A; P(x)
は成り立たないことになる．
変域を空集合に制限すると成り立たなくなる法則には，他にも
[∀x∈A ; F(x) ]∧P
⇔
∀x∈A [ F(x)∧P ]
[ ∃x∈A ; F(x) ]∨P
⇔
∃x∈A [ F(x)∨P ]
がある．これらについては，「変域の制限された限定命題に関する論理法則」を参照のこと．
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