付帯条件つき限定命題に関する論理法則

(a)

[ ∀x∈A ; F(x) ]∧P 　⇔　 ∀x∈A [ F(x)∧P ] 　　　 （A≠∅ のとき）

(b)

[ ∃x∈A ; F(x) ]∧P 　⇔　 ∃x∈A [ F(x)∧P ]

(c)

[ ∀x∈A ; F(x) ]∨P 　⇔　 ∀x∈A [ F(x)∨P ]

(d)

[ ∃x∈A ; F(x) ]∨P 　⇔　 ∃x∈A [ F(x)∨P ] 　　　 （A≠∅ のとき）

(e)

∀x∈A, ∀y∈B ; F(x,y) 　⇔　 ∀y∈B, ∀x∈A ; F(x,y)

(f)

∃x∈A, ∃y∈B ; F(x,y) 　⇔　 ∃y∈B, ∃x∈A ; F(x,y)

(g)

∀x∈A [ F(x) ∧ G(x) ] 　⇔　 [ ∀x∈A ; F(x) ] ∧ [ ∀x∈A ; G(x) ]

(h)

∃x∈A [ F(x) ∨ G(x) ] 　⇔　 [∃x∈A ; F(x) ] ∨ [∃x∈A ; G(x) ]

(1)

  P ∧ ∀x Q(x) 　⇔　 ∀x ( P ∧ Q(x) )

(2)

  P ∧ ∃x Q(x) 　⇔　 ∃x ( P ∧ Q(x) )

(3)

  P ∨ ∀x Q(x) 　⇔　 ∀x ( P ∨ Q(x) )

(4)

  P ∨ ∃x Q(x) 　⇔　 ∃x ( P ∨ Q(x) )

(5)

[ P ⇒ ∀x Q(x) ] 　⇔　 ∀x ( P ⇒ Q(x) )

(6)

[ P ⇒ ∃x Q(x) ] 　⇔　 ∃x ( P ⇒ Q(x) )

(7)

[ ∀x Q(x) ⇒ P ] 　⇔　 ∃x ( Q(x) ⇒ P )

(8)

[ ∃x Q(x) ⇒ P ] 　⇔　 ∀x ( Q(x) ⇒ P )

(i)

∀x P(x) ∧ ∀x Q(x) 　⇔　 ∀x [ P(x) ∧ Q(x) ]

(ii)

∃x P(x) ∨ ∃x Q(x) 　⇔　 ∃x [ P(x) ∨ Q(x) ]

(A)

[P⇒(Q∧R)] 　⇔　 [(P⇒Q) ∧ (P⇒R)]

(B)

(T ⇒ P) 　⇔　 P

(C)

[ P ⇒ (Q∨R) ] 　⇔　 [ (P⇒Q) ∨ R ]

(D)

[ P ⇒ (Q ⇒ R) ] 　⇔　 [ (P∧Q) ⇒ R ]

(a)

∀x∈A [ F(x)∧P ]
	⇔	∀x [ x∈A ⇒ F(x)∧P ]	（∵ 変域制限の表記法）
	⇔	∀x [ ( x∈A ⇒ F(x) ) ∧ ( x∈A ⇒ P ) ]	（∵ 上の法則 (A) )
	⇔	∀x [ x∈A ⇒ F(x) ] ∧ ∀x ( x∈A ⇒ P )	（∵ 上の法則 (i) )
	⇔	∀x [ x∈A ⇒ F(x) ] ∧ [ ∃x ( x∈A ) ⇒ P ]	（∵ 上の法則 (8) )
	⇔	∀x [ x∈A ⇒ F(x) ] ∧ ( T ⇒ P )	（∵ 仮定 A≠∅）
	⇔	∀x [ x∈A ⇒ F(x) ] ∧ P	（∵ 上の法則 (B) ）
	⇔	[ ∀x∈A ; F(x) ] ∧ P .	（∵ 変域制限の表記法）

(b)

[ ∃x∈A ; F(x) ]∧P
	⇔	∃x [ x∈A ∧ F(x) ] ∧ P	（∵ 変域制限の表記法）
	⇔	∃x [ x∈A ∧ F(x) ∧ P ]	（∵ 上の法則 (2) )
	⇔	∃x∈A [ F(x)∧P ] .	（∵ 変域制限の表記法）

(c)

∀x∈A [ F(x)∨P ]
	⇔	∀x [ x∈A ⇒ ( F(x)∨P ) ]	（∵ 変域制限の表記法）
	⇔	∀x [  (x∈A ⇒ F(x) ) ∨ P ]	（∵ 上の法則 (C) )
	⇔	∀x [  x∈A ⇒ F(x) ] ∨ P	（∵ 上の法則 (3) )
	⇔	[ ∀x∈A ; F(x) ] ∨ P .	（∵ 変域制限の表記法）

(d)

∃x∈A [ F(x)∨P ]
	⇔	∃x [ x∈A ∧ ( F(x)∨P ) ]	（∵ 変域制限の表記法）
	⇔	∃x [ ( x∈A ∧ F(x) ) ∨ ( x∈A ∧ P ) ]	（∵ 分配律）
	⇔	∃x [ x∈A ∧ F(x) ] ∨ ∃x [ x∈A ∧ P ]	（∵ 上の法則 (ii) )
	⇔	∃x [ x∈A ∧ F(x) ] ∨ [ ∃x ( x∈A ) ∧ P ]	（∵ 上の法則 (2) )
	⇔	∃x [ x∈A ∧ F(x) ] ∨ [ T ∧ P ]	（∵ 仮定 A≠∅ ）
	⇔	∃x [ x∈A ∧ F(x) ] ∨ P	（∵ 連言肢 T の消去律 ）
	⇔	[ ∃x∈A ; F(x) ] ∨ P .	（∵ 変域制限の表記法）

(e)

∀x∈A, ∀y∈B ; F(x,y)
	⇔	∀x [  x∈A ⇒ ∀y ( y∈B ⇒ F(x,y) ) ]	（∵ 変域制限の表記法）
	⇔	∀x ∀y [  x∈A ⇒ ( y∈B ⇒ F(x,y) ) ]	（∵ 上の法則 (5) ）
	⇔	∀x ∀y [  ( x∈A ∧ y∈B ) ⇒ F(x,y) ) ]	（∵ 上の法則 (D) )
	⇔	∀y ∀x [  ( y∈B ∧ x∈A ) ⇒ F(x,y) ) ]	（∵ 全称命題の論理法則と連言の交換律)
	⇔	∀y∈B, ∀x∈A ; F(x,y) .	（∵ 上の 1 行目から 3 行目までの変形を逆に辿る）

(f)

∃x∈A, ∃y∈B ; F(x,y)
	⇔	∃x [  x∈A ∧ ∃y ( y∈B ∧ F(x,y) ) ]	（∵ 変域制限の表記法）
	⇔	∃x ∃y [  x∈A ∧ ( y∈B ∧ F(x,y) ) ]	（∵ 上の法則 (2) ）
	⇔	∃y ∃x [  y∈B ∧ ( x∈A ) ∧ F(x,y) ) ]	（∵ 交換律と結合律)
	⇔	∃y∈B, ∃x∈A ; F(x,y) .	（∵ 上の 1 行目から 3 行目までの変形を逆に辿る）

(g)

∀x∈A [ F(x) ∧ G(x) ]
	⇔	∀x [  x∈A ⇒ ( F(x) ∧ G(x) ) ]	（∵ 変域制限の表記法）
	⇔	∀x [  ( x∈A ⇒ F(x) ) ∧ ( x∈A ⇒ G(x) ) ]	（∵ 上の法則 (A) ）
	⇔	∀x [  x∈A ⇒ F(x) ] ∧ ∀x [  x∈A ⇒ G(x) ]	（∵ 上の法則 (i) )
	⇔	[ ∀x∈A ; F(x) ] ∧ [ ∀x∈A ; G(x) ]	（∵ 変域制限の表記法）

(h)

∃x∈A [ F(x)∨G(x) ]
	⇔	∃x [ x∈A ∧ ( F(x)∨G(x) ) ]	（∵ 変域制限の表記法）
	⇔	∃x [ ( x∈A ∧ F(x) ) ∨ ( x∈A ∧ G(x) ) ]	（∵ 分配律）
	⇔	∃x [ x∈A ∧ F(x) ] ∨ ∃x [ x∈A ∧ G(x) ]	（∵ 上の法則 (ii) )
	⇔	[ ∃x∈A ; F(x) ] ∨ [ ∃x∈A ; G(x) ]	（∵ 変域制限の表記法）