[開設 07/27/23]
例 3 の解説
ここでは，
n 次元 Euclid 空間 ℝn の線形部分空間全体からなる
半順序集合 (Sn, ⊆)
が束であることを示す．
資料「束」例 3 の
-
H1,
H2 ∊ Sn
に対して
-
H1 ∧ H2
=
H1 ∩ H2,
-
H1 ∨ H2
=
H1 + H2
≝
{x1+x2 | x1∊H1, x2∊H2}
（∧ と ∨ は (Sn, ⊆)
における交わりと結びの演算）を示す．
まず，
H1
と H2
が線形部分空間のとき，
H1 ∩ H2
と
H1 + H2
が線形部分空間になることは，
1 年次の「線形代数」で学んだと思う
（念のために ここ で説明している）．
H1 ∧ H2
=
H1 ∩ H2
の説明．
(2ℝn, ⊆) において，
H1 ∩ H2
が {H1, H2} ⊆ 2ℝn
の最大下界であり，
(Sn, ⊆)
が (2ℝn, ⊆) の部分順序集合であることと，
(Sn, ⊆)
が共通集合の演算 ∩ に関して閉じていることから，
H1 ∩ H2
は {H1, H2} ⊆ Sn
の最大下界 H1 ∧ H2
である．
この説明がピンと来ない人のために，
丁寧な別の説明をしよう．
H1, H2 ∊ Sn
とする．
まず，共通集合の定義から
H1 ∩ H2 ⊆ H1
かつ H1 ∩ H2 ⊆ H2
なので，
H1 ∩ H2
は {H1, H2} の下界である．
次に，H ∊ Sn
を {H1, H2} の
任意の下界—すなわち H ⊆ H1
かつ H ⊆ H2
—とすると，
共通集合の定義から
H ⊆ H1 ∩ H2
である．
以上から，
H1 ∩ H2
は {H1, H2}
の (Sn, ⊆)
における最大下界，
すなわち H1 ∧ H2
=
H1 ∩ H2
となる．
下限 H1 ∧ H2 のイメージ図
上図では H1 と H2 は ともに 2 次元線形部分空間，
それらの共通集合 H1 ∩ H2
は 1 次元線形部分空間．
{H1, H2}
の下界は H1 ∩ H2
と 0 次元線形部分空間 {0} だけであり，
下界全体の最大元は H1 ∩ H2 である．
H1 ∨ H2
=
H1 + H2
の説明．
任意の x1∊H1
に対して x1 = x1+0
∊ H1 + H2
だから，
包含関係の定義より H1 ⊆
H1 + H2
である．
同様に H2 ⊆
H1 + H2
なので，
H1 + H2
は {H1, H2} の上界である．
次に，H ∊ Sn
を {H1, H2} の任意の上界—すなわち，
H1 ⊆ H
かつ H2 ⊆ H
—とする．
任意の x ∊ H1 + H2
に対し，
H1 + H2
の定義から ある x1∊H1
と x2∊H2
が存在して x = x1+x2
となり，このとき x1∊H1 ⊆ H
かつ x2∊H2 ⊆ H
であって H が線形部分空間である
ことから x = x1+x2 ∊ H
となるので，
包含関係の定義より H1 + H2 ⊆ H
である．
以上から，
H1 + H2
は {H1, H2}
の (Sn, ⊆)
における最小上界，
すなわち H1 ∨ H2
=
H1 + H2
となる．
上限 H1 ∨ H2 のイメージ図
上図では H1 と H2 は ともに 1 次元線形部分空間．
それらを含む最小の線形部分空間は，
それらを含む 2 次元線形部分空間であり，
これは H1 + H2 である．
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