分割の集合の下限

⊓_λ∊ΛP _λ = { ∩_λ∊ΛP_λ | P_λ∊P _λ }∖{∅} が X の分割であること

分割の定義より，

(a)　 ∪({ ∩_λ∊ΛP_λ | P_λ∊P _λ }∖{∅}) = X であること

(b)　 { ∩_λ∊ΛP_λ | P_λ∊P _λ }∖{∅} の異なる 2 要素が互いに素であること

を示せばよい．
まず (a) を示す． x∊X を任意に固定する． 任意の λ∊Λ について， P _λ が X の分割であることより， x∊P_λ なる P_λ∊P _λ が存在する． したがって， x∊∩_λ∊ΛP_λ であり， x∊∪({ ∩_λ∊ΛP_λ | P_λ∊P _λ }∖{∅}) となる． これで X⊆∪({ ∩_λ∊ΛP_λ | P_λ∊P _λ }∖{∅}) が示された． 一方， { ∩_λ∊ΛP_λ | P_λ∊P _λ }∖{∅} は X の部分集合族だから ∪({ ∩_λ∊ΛP_λ | P_λ∊P _λ }∖{∅}) ⊆ X である． 以上で (a) が言えた．

次に， (b) を示す． それには， R, R′ ∊ { ∩_λ∊ΛP_λ | P_λ∊P _λ }∖{∅} を任意に取り， R∩R′≠∅ を仮定して， R=R′ を導けばよい． R, R′ ∊ { ∩_λ∊ΛP_λ | P_λ∊P _λ }∖{∅} より， すべての λ∊Λ について ある P_λ, P′_λ ∊ P _λ があって R=∩_λ∊ΛP_λ， R′=∩_λ∊ΛP′_λ と書ける． ∅≠R∩R′ = (∩_λ∊ΛP_λ) ∩ (∩_λ∊ΛP′_λ) = ∩_λ∊Λ (P_λ∩P′_λ) より， すべての λ∊Λ について P_λ∩P′_λ≠∅ である． P_λ, P′_λ ∊ P _λ であって P _λ が分割なので， P_λ∩P′_λ≠∅ より P_λ=P′_λ である． よって， R= ∩_λ∊ΛP_λ = ∩_λ∊ΛP′_λ = R′ である．

⊓_λ∊ΛP _λ = { ∩_λ∊ΛP_λ | P_λ∊P _λ }∖{∅} が { P _λ | λ∊Λ } の下限であること

任意に R ∊ ⊓_λ∊ΛP _λ を固定する． ⊓_λ∊ΛP _λ の定義より， 各 λ∊Λ について P_λ∊P _λ が存在して R = ∩_λ∊ΛP_λ となる． このとき， 各 λ∊Λ について， R⊆P_λ となっている． したがって， ⊑ の定義より 各 λ∊Λ について ⊓_λ∊ΛP _λ ⊑ P _λ である． よって， ⊓_λ∊ΛP _λ は { P _λ | λ∊Λ } の下界である．

次に， R を { P _λ | λ∊Λ } の任意の下界とし， R∊R を任意に固定する． 各 λ∊Λ について， R ⊑P _λ だから ⊑ の定義より R⊆P_λ となる P_λ∊P _λ が存在する． よって，

R ⊆ ∩_λ∊ΛP_λ 　　　　(1)

である． また， R≠∅ だから ∩_λ∊ΛP_λ ≠ ∅ なので， ⊓_λ∊ΛP _λ の定義より

∩_λ∊ΛP_λ ∊ ⊓_λ∊ΛP _λ 　　　(2)

である． そして (1), (2) と ⊑ の定義から R ⊑ ⊓_λ∊ΛP _λ である．
以上から， ⊓_λ∊ΛP _λ は { P _λ | λ∊Λ } の下界全体の最大元， すなわち { P _λ | λ∊Λ } の最大下界（下限）である．