[開設 07/03/23=MM/DD/YY]

順序の用語を整除関係で整理する

正の整数全体 ℕ = { 1, 2, . . . } 上の整除関係 | での対応する概念で順序の用語を整理しよう．
特に， 最小上界 と 最小公倍数， 最小下界 と 最大公約数の 対応は 呼び名も対応していて， 解りやすいのではないかと思われる．

ℕ 上の整除関係とは，

m | n 　⇔　 ∃q∈ℕ s.t. n = q m
で定義される関係 | であり，
m | n ⇔　 n は m で割り切れる
⇔　 m は n の約数
⇔　 n は m の倍数
である．

S を ℕ の 空でない有限部分集合とする．

順序 ←対応→ 整除
ℕ の最大元
ℕに属していて ℕ のすべての要素 以上の要素
←→
すべての正の整数の倍数であるような数
（これは存在しない）
ℕ の最小元
ℕに属していて ℕ のすべての要素 以下の要素
←→
　 1
1 は すべての正の整数の約数である
S の上界
S のすべての要素 以上の要素
←→
S の公倍数
S のすべての要素の倍数
S の下界
S のすべての要素 以下の要素
←→
S の公約数
S のすべての要素の約数
S の最小上界
S の上界全体の最小元
←→
S の最小公倍数
S の倍数全体の最小元
S の最大下界
S の下界全体の最大元
←→
S の最大公約数
S の約数全体の最大元
ℕ∖{ 1 } の極小元
それ以下の要素は それ自身だけ （1 は除いている）
（参考「原子と余原子」）
←→
素数
（1 を除くと） 約数はそれ自身だけ

離散構造（室伏）のホーム
murofusi "at mark" c "dot" titech "dot" ac "dot" jp ("at mark" -> @ / "dot" -> .)