[開設 07/03/23=MM/DD/YY]

原子と余原子

最小元 0 を持つ半順序集合 (X, ≤) において， X∖{0} の極小元を原子または 原子元 または アトム (atom) という．

下の例から， X∖{0} の極小元が原子と呼ぶに相応しいことが解るだろう．
原子は，Boole代数において重要な役割を果たす．

例1

Xを集合とするとき，順序集合 (2^X, ⊆) の最小元は空集合 ∅ であり，原子の全体は 1 要素集合の全体に一致する．

例2

整除関係 ≼ に関する順序集合 (ℕ, ≼) を考える．このとき，最小元は 1 であり，原子の全体は素数の全体に一致する．

例3

S_n を n 次元 Euclid 空間 ℝⁿ の線形部分空間全体からなる族とする．順序集合 (S_n, ⊆) の最小元は 0 次元空間 {0} であり，原子の全体は 1 次元線形部分空間の全体に一致する．

原子の双対概念（7月10日の授業「半順序集合」参照）を余原子という．余原子は原子ほど重要な概念ではないが，ついでに説明しておこう．

最大元 1 を持つ半順序集合 (X, ≤) において， X∖{1} の極大元を 余原子 または 余原子元 または コアトム (coatom) という．

例4

Xを n 要素集合とするとき，順序集合 (2^X, ⊆) の最大元は全体集合 X であり，余原子の全体は n−1 要素集合の全体に一致する．

例5

整除関係 ≼ に関する順序集合 (ℕ, ≼) は，最大元を持たないので，余原子も持たない．

例6

S_n を n 次元 Euclid 空間 ℝⁿ の線形部分空間全体からなる族とする．順序集合 (S_n, ⊆) の最大元は全空間 ℝⁿ であり，余原子の全体は n−1 次元線形部分空間の全体に一致する．なお， n−1 次元線形部分空間は超平面と呼ばれる．