「分割全体からなる束」の問の解答

問 1

任意に R∊P ⊓Q を固定する． P ⊓Q の定義より R=P∩Q となる P∊P と Q ∊Q が存在する． このとき， R⊆P となっているので P ⊓Q ⊑P である． 同様に， R⊆Q となっているので P ⊓Q ⊑Q である． 以上から， P ⊓Q は { P, Q } の下界である．
次に， R を { P, Q } の任意の下界とし， R∊R を任意に固定する． R ⊑P だから， ある P∊P が存在して R⊆P となる． 同様に， R ⊑Q だから， ある Q∊Q が存在して R⊆Q となる． よって，

R⊆P∩Q 　　　　(1)

である． また， R≠∅ だから P∩Q≠∅ なので， P ⊓Q の定義より

P∩Q∊P ⊓Q 　　　(2)

である． そして (1), (2) と ⊑ の定義から R ⊑P ⊓Q である．
以上から， P ⊓Q は { P, Q } の最大下界である．

問 2

半順序集合 (X, ≤) において， X の任意の部分集合が 下限を持つとする． X の部分集合 S を任意に固定する． U(S) を S の上界全体からなる集合とすると， 仮定より infU(S) ∊ X が存在する． 以下， supS = infU(S) を示す． 任意に s∊S を固定する． 任意の t∊U(S) について， t は S の上界だから， s≤t である． したがって， s は U(S) の下界となる． infU(S) は U(S) の下界全体の最大元だから， s≤infU(S) である． よって， infU(S) は S の上界となり， infU(S)∊U(S) となるから， infU(S) は U(S) の最小元， すなわち S の最小上界である． 　(Q.E.D.)