[開設 07/27/23=MM/DD/YY]

配付資料「束」例 17 の解説

ここでは， 写像 H ↦ H⊥ が， 束 (Sn, +, ∩) から それ自身への双対同形写像であることを説明する．
説明 1．
配付資料「半順序関係」例 16 より， 写像 H ↦ H⊥ は Sn から Sn への双対順序同形写像である． 配付資料「束」 p. 3 上から12‐13行目 「束双対（準）同形写像と双対順序（準）同形写像の間にも， 命題 6 と同様の関係がある」 （詳しくは web資料「命題 6 の双対」）から， 束から半順序集合への双対順序同形写像は 束双対同形写像なので， 写像 H ↦ H⊥ は Sn から Sn への束双対同形写像であることが解る．

説明 2 （「命題 6 の双対」を用いない説明）
H1, H2 ∊ Sn とする． まず，
(H1+H2)⊥ = H1⊥ ∩ H2⊥
を示す． 以下， x, y ∊ ℝn の内積を 〈x, y〉 で表す． 任意の x ∊ ℝn に対して，
x ∊ (H1+H2)⊥ ⇔ ∀h ∊ H1+H2; 〈x, h〉 = 0
⇔ ∀h1 ∊ H1, h2 ∊ H2; 〈x, h1+h2〉 = 0
⇔ ∀h1 ∊ H1 〈x, h1〉 = 0 かつ ∀h2 ∊ H2; 〈x, h2〉 = 0 　(下記括弧文参照）
⇔ x ∊ H1⊥ かつ x ∊ H2⊥
⇔ x ∊ H1⊥ ∩ H2⊥
（3番目の ⇔ に関して， ⇐ は 〈x, h1+h2〉 = 〈x, h1〉 + 〈x, h2〉 = 0 より従う． ⇒ については， 0 ∊ H2 に対して 〈x, h1〉 = 〈x, h1+0〉 = 0 であることと， 0 ∊ H1 に対して 〈x, h2〉 = 〈x, 0+h2〉 = 0 であることから従う）． よって， (H1+H2)⊥ = H1⊥ ∩ H2⊥ である．
次に，
(H1∩H2)⊥ = H1⊥ + H2⊥
を示す． 資料「半順序集合」p. 6, 例 16 で見たように， H ↦ H⊥ は対合的， すなわち， H⊥⊥ = (H⊥)⊥ =H であるから， 上で示した等式を用いて，
(H1∩H2)⊥ = (H1⊥⊥ ∩ H2⊥⊥)⊥
= (H1⊥ + H2⊥)⊥⊥
= H1⊥ + H2⊥.
以上， 上で示した2式から， 写像 H ↦ H⊥ は Sn から Sn への双対順序同形写像である．
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