[開設 07/27/23=MM/DD/YY]
命題 6 の双対
配付資料「束」 p. 9 の
「束双対（準）同形写像と双対順序（準）同形写像の間にも，
命題 6 と同様の関係がある」の解説
「命題 6 と同様の関係」とは，下の命題に示される関係である．
命題
(i)
束双対準同形写像ならば双対順序準同形写像である．
(ii)
L を束，
X を半順序集合，
f : L→X とするとき，
X が束でf が束双対同形写像
⇔
f が双対順序同形写像．
資料「双対（準）同形写像の双対」
で示したことに注意すると，
上の命題と配付資料「束」命題 6 は
定義域（または値域）上の順序に関して互いに双対である．
したがって，
双対原理により，上の命題が成り立つ．
実際，
配付資料「束」命題 6 の証明の，
定義域（または値域）上の順序に関する双対を取れば，
上の命題の証明が得られる．
念のため，
上の命題の証明（命題 6 の証明の双対）を下に記しておく．
命題の証明
-
(i)
-
f : L1 → L2
を束双対準同形写像とする．
x, y ∊ L1 について，
x ≤ y とすると，
x∨y = y なので，
f が束双対準同形写像であることより
f(x) ∧ f(y) =
f(x∨y) =
f(y)
となるから，
f(x) ≥ f(y) である．
よって，f は双対順序準同形写像である．
-
(ii)
-
(⇒)
f : L → X
を束双対同形写像とすると，
代数系の同形写像の性質より
f −1 も
束双対同形写像である．
束双対同形写像は束双対準同形写像だから，(i) より双対順序準同形写像である．
よって，
f も f −1 も双対順序準同形写像なので，
定義より f は双対順序同形写像である．
-
(⇐)
L を束，
X を半順序集合，
f : L → X
を双対順序同形写像とする．
まず，
X が束であることを示す．
x, y∊X を任意に固定する．
f は全単射なので L に l =
f −1(x) と m =
f −1(y) が存在し，
L は束だから l∨m が存在する．
f( l∨m ) が {x, y} の下限であることを示す．
f が双対順序同形写像であることと l ≤ l∨m
から x = f(l) ≥ f(l∨m) であり，
同様に y = f(m) ≥ f(l∨m) である．
よって，
f(l∨m)
は { x, y }
の下界である．
z∊X を { x, y }
の任意の下界とする．
f が双対順序同形写像であることと x ≥ z
から l = f −1(x)
≤ f −1(z)
であり，
同様に m ≤ f −1(z) である．
よって，
l∨m ≤ f −1(z)
なので，
f(l∨m)
≥ f(f −1(z)) = z
となる．
したがって，
f(l∨m) は
{ x, y }
の最大下界，
すなわち下限である．
双対的に { x, y } の上限も存在するので，
X は束である．
次に，
f が束双対同形写像であることを示す．
任意の l, m∊L に対して，
x = f(l),
y = f(m)
とおくと，
上での議論から
f(l∨m) は { x, y }
= { f(l), f(m) }
の下限なので，
f(l∨m) = f(l) ∧ f(m)
である．
双対的に f(l∧m) = f(l) ∨ f(m)
も言えるので，
f は束双対準同形写像である．
そして，f は全単射だったので，束双対同形写像である．
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