[開設 07/27/23=MM/DD/YY]
双対（準）同形写像の双対
順序（準）同形写像と双対順序（準）同形写像の間，
および
束（準）同形写像と束双対（準）同形写像の間にある双対性について
（双対）順序（準）同形写像
f : (X1, ≤1)
→
(X2, ≤2)
とするとき，
下の2つの定義
f が順序準同形写像
⇔
∀x, y∊X1 ;
x≤1y ⇒
f(x)≤2f(y)
f が双対順序準同形写像
⇔
∀x, y∊X1 ;
x≤1y ⇒
f(x)≥2f(y)
を見比べると，
一方の概念の {≤2, ≥2} に関する双対を取った概念が，
他方の概念に一致することが解る．
同時に，
一方の概念の {≤1, ≥1} に関する双対を取った概念が，
他方の概念になっていることも解る．
また，
f が順序同形写像であることとは
f が全単射の順序準同形写像で
逆写像f −1も順序準同形写像であることであり，
f が双対順序同形写像であることとは
f が全単射の双対順序準同形写像で
逆写像f −1も双対順序準同形写像であることであった．
したがって同形写像についても，上で見たことから，
一方の概念の {≤2, ≥2} に関する双対を取った概念が，
他方の概念に一致することが解る．
そしてさらに，
一方の概念の {≤1, ≥1} に関する双対を取った概念が，
他方の概念になっている．
同じことが
束（準）同形写像についても言える．
束（双対）（準）同形写像
(L1, ∨1, ∧1)
と
(L2, ∨2, ∧2)
を束とし，
f : L1
→
L2
とするとき，
下の2つの定義
f が束準同形写像
⇔
∀x, y∊L1 ;
f(x∨1y)
=
f(x)∨2f(y),
f(x∧1y)
=
f(x)∧2f(y).
f が束双対準同形写像
⇔
∀x, y∊L1 ;
f(x∨1y)
=
f(x)∧2f(y),
f(x∧1y)
=
f(x)∨2f(y).
を見比べると，
一方の概念の {∨2, ∧2} に関する双対を取った概念が，
他方の概念に一致することが解る．
同時に，
一方の概念の {∨1, ∧1} に関する双対を取った概念が，
他方の概念になっていることも解る．
また，
f が束同形写像であることとは
f が全単射の束準同形写像であることであり，
f が束双対同形写像であることとは
f が全単射の束双対準同形写像であることであった．
したがって同形写像についても，上で見たことから，
一方の概念の {∨2, ∧2} に関する双対を取った概念が，
他方の概念に一致することが解る．
そしてさらに，
一方の概念の {∨1, ∧1} に関する双対を取った概念が，
他方の概念になっている．
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