[開設 07/31/23=MM/DD/YY]
(A,B) が概念のとき
(1)
A = ∩m ∊B m′
が成り立つので1)，
任意の外延は m′ の共通集合である．
一方，
任意の m ∊M について
(m′,m″) が概念であることと
配付資料「形式概念分析」命題 3
(A1,B1)
∧
(A2,B2)
=
(A1∩A2,
(B1∪B2)″)
より，
m′ の任意の共通集合は外延であることが解る．
よって，
m′ の共通集合として作られる集合全体と
外延全体は一致する．
Step 1 ではm′のすべての共通集合を算出しており，
これにより すべての外延が求まる．
なお，
数学的には
Step (1.2)で
m′ が極大な属性 m を選ぶ必要はなく，
どの属性 m を選んでもよい．
m′ が極大な属性 m を選ぶのは，
Step 1 と
Step 2 の作業がしやすいからである．
Step 2 は，
概念間の順序関係の定義
(A1,B2) ≤ (A2,B2)
⇔
A1 ⊆ A2
に基づく．
なお，
属性のラベル付けでは，
属性-外延表で
属性 m と外延 A が同じ行にあるとき
A=m′ であることに注意されたい．
Step (3.2) は，
g″ が g ∊G
を含む最小の外延である事実2)に基づく．
また，
Step (4.2) は，
任意の概念 (A, B)
について，
式 (1) より
(A, B)
=
(∩m ∊B m′,
B)
=
(∩m ∊B m′,
(∩m ∊B m′)″)
=
∧m ∊B
(m′, m″)
なので，
(A, B)
が交わり既約ならば，
ある (m′, m″)
に等しいという事実による．
Step (4.1) は Step (4.2) の双対である．
なお，
一般に
対象のラベルが付いていても結び既約とは限らないし，
属性のラベルが付いていても交わり既約とは限らない．
Step (4.3) は
配付資料「形式概念分析」命題 4 (ii)
で (A,B)
=
μm
=
(m′,m″)
としたものに基づいており，
これにより命題 4 (i) の確認ができる．
1)
|
g ∊A
|
⇔
|
g ∊B ′
|
|
|
⇔
|
∀m ∊B ; gIm
|
|
|
⇔
|
∀m ∊B ;
g ∊m′
|
|
|
⇔
|
g ∊∩m ∊B m′
|
より，
A = ∩m ∊B m′．
2)
g ∊{g} ⊆ {g}″ = g ″
なので
g ″ は g を含む外延であり，
A を g ∊A なる任意の外延とすると，
{g}⊆A より g ″ = {g}″
⊆ A″ = A だから，
g ″ は g を含む外延の中で最小である．
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