[開設 07/27/23=MM/DD/YY]
「束」例 16 の解説
ここでは，
写像 m ↦ n/m が，
束 (Dn, lcm, gcd) から
それ自身への双対同形写像であることを説明する．
説明 1．
配付資料「半順序関係」例 15 より，
写像 m ↦ n/m は
Dn から
Dn への双対順序同形写像である．
配付資料「束」 p. 9 上から12‐13行目
「束双対（準）同形写像と双対順序（準）同形写像の間にも，
命題 6 と同様の関係がある」
（詳しくは
web資料「命題 6
の双対」）から，
束から半順序集合への双対順序同形写像は
束双対同形写像なので，
写像 m ↦ n/m も
Dn から
Dn への束双対同形写像であることが解る．
説明 2
（「命題 6
の双対」を用いない説明）
m1,
m2 ∊ Dn
とし，
d = gcd{m1, m2}
とする．
このとき，
互いに素な正整数 m′1,
m′2
が存在して，
m1
=
m′1d,
m2
=
m′2d,
lcm{m1, m2}
=
m′1m′2d
となっている．
m′1m′2d
=
lcm{m1, m2}
∊ Dn
だから，
ある正整数 q が存在して，
n
=
m′1m′2dq
よって，
n/m1
=
m′2q,
n/m2
=
m′1q
となり，
m′1
と
m′2
は互いに素であるから，
gcd{n/m1,
n/m2}
=
q
=
n/lcm{m1, m2},
lcm{n/m1,
n/m2}
=
m′1m′2q
=
n/gcd{m1, m2}
である．
よって，
写像 m ↦ n/m は
Dn から
Dn への双対順序同形写像である．
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