[開設 07/03/23=MM/DD/YY]
弱順序
数学では
議論の対象にならないが，
心理学や
経済学などの
人文社会系の分野でよく使われる順序が
ある．
それが弱順序である．
反射性と推移性と比較可能性を持つ 2 項関係を
弱順序 (weak order)
と言う．
弱順序は，
全順序から反対称律を除いたものと言える．
心理学では，
人間が感じる 2 つの刺激の強さ（音の大きさ，
音の高さ，明るさ等）の比較を記述するのに，
弱順序が使われていた．
例えば，2 つの刺激
x，y
が与えられ，
被験者にとって x の方が強いか，
もしくは同程度であると感じられたことを
x ≿ y
と書くのである．
このとき，
弱順序の 3 条件は下のような意味あいになる．
-
反射性：x ≿ x ： 「同じ刺激どうしは同程度」
-
推移性：x ≿ y, y ≿ z
⇒ x ≿ z ：
-
「x が y より強い（か同程度で），
y が z より強い（か同程度）なら，
x は z より強い（か同程度）」
-
比較可能性：x ≿ y または y ≿ x ：
-
「x の方が y より強い（か同程度）か，
y の方が x より強い（か同程度）か，
のいずれか」
人文社会系の分野で最もよく扱われ，
工学系の分野でも扱われているのが，
選好関係 (preference relation)
である．
議論の対象になっている個人もしくは集団（主体と呼ぶ）にとって，
ある対象 x が
別の対象 y
よりも好ましいか，少なくとも同程度であることを
x ≿ y
と表し，
x は y より選好される
という．
x ≿ y かつ y ≿ x
であるとき，
x と y は無差別 (indifferent) であるといい，
x ∼ y
と書く．
x ≿ y かつ， x ∼ y でない
とき，
x は y より強選好される
といい，
x ≻ y
と書く．
数学的に
次のことが成り立つ
（各自 確認されたい）．
x ≻ y
⇔
x ≿ y かつ， y ≿ x でない
x ≿ y
⇔
x ≻ y
または
x ∼ y
このとき，
弱順序の 3 条件は下のような意味あいになる．
-
反射性：x ≿ x ： 「同じ対象どうしは無差別」
-
推移性：x ≿ y, y ≿ z
⇒ x ≿ z ：
-
「x が y より選好され，
y が z より選好されるなら，
x は z より選好される．」
-
比較可能性：x ≿ y または y ≿ x ：
-
「x が y より強選好されるか，
y が x より強選好されるか，
x と y は無差別であるか，
のいずれか」
選好関係には，
Arrow の一般可能性定理など，
興味深い話題がいろいろとある．
時間があったら紹介したいと思っている．
注意：
刺激の強さの判断にしろ，
好みの判断にしろ，
人間には
非常に小さな差は識別できないから，
厳密に言うと，
現実の
判断は弱順序には成り得ない．
例えば，
x と y の差は小さすぎて識別できず（x ∼ y），
y と z の差も小さすぎて識別できないが（y ∼ z），
x と z の差となると少し大きくなって
識別できる（例えば x ≻ z）
ということは起こり得る．
そして，この結果は推移律を満たさない．
しかし，
このようなことを考慮すると
モデルが複雑になりすぎるので，
弱順序を仮定するのである．
離散構造（室伏）のホーム
