sup ∅ と inf ∅ について， ∪∅ と ∩∅ と同様の議論 （ハンドアウト「事前資料」p. 3 例 2.3 参照） ができる．
まず， ∅ の上界について考えてみよう． 任意に s ∈ X を固定する．
したがって， 任意の s∈X が ∅の上界となる． よって， ∅の上界全体の集合は X になる． 上界全体の集合の最小元が上限だから， ∅の上限 sup ∅ は min X に一致する （もちろん min X が存在しなければ sup ∅ も存在しない）．
s が ∅ の上界 ⇔ ∀x ∈ ∅ (x ≤ s) （∵ 上界の定義） ⇔ ∀x (x∈∅ ⇒ x ≤ s) （∵ 付帯条件つき限定命題の定義） ⇔ ∀x (F ⇒ x ≤ s) （∵ 空集合の定義） ⇔ ∀x T （∵ ⇒ の真理値表） ⇔ T . （∵ ∀の定義）
∅の下界と下限についても 同様の議論ができて， inf ∅ = max X （max X が存在しなければ inf ∅ も存在しない） となる．
なお， max ∅ と min ∅ は存在しない （max と min の定義より max ∅ ∈ ∅， min ∅ ∈ ∅ でなければならないが， 空集合は要素を持たないので， これらは どちらも不可能である）．
