[開設 07/03/23=MM/DD/YY]

付帯条件つき限定命題

∀x [ M(x) ⇒ P(x) ]  ⇔  「M(x) を満たす すべての x について，P(x) である」
∃x [ M(x) ∧ P(x) ]  ⇔  「M(x) を満たす 少なくとも一つの x が存在して，P(x) である」
∃x [ M(x) ∧ P(x) ]  ⇔  「M(x) を満たす 少なくとも一つの x が存在して，P(x) である」
は，要は 「M(x) であって かつ P(x) であるような対象 x が少なくとも一つ存在する」ということで， わかりやすいから，この言い換え以外の説明は不要だろう．
∀x [ M(x) ⇒ P(x) ]  ⇔  「M(x) を満たす すべての x について，P(x) である」
の解説：

目次

解説その 1（直接的な説明）

∀x [ M(x) ⇒ P(x) ]
とは，
「すべての x について，M(x) ⇒ P(x)」
ということである． 対象領域には， 一般に M(x) を満たす対象と M(x) を満たさない対象があるから， 場合分けすると， 上のことは
「『M(x) を満たす すべての x について，M(x) ⇒ P(x)』 であり，
　かつ 『M(x) を満たさない すべての x について，M(x) ⇒ P(x)』」
ということになる．
さて，まず
「M(x) を満たさない すべての x について，M(x) ⇒ P(x)」
について考える． 今 考えているのは， M(x) を満たさない対象 x だけなので， M(x) は常に偽である． すると， 条件命題の真理値表より M(x) ⇒ P(x) は真になる． よって，
「M(x) を満たさない すべての x について，M(x) ⇒ P(x)」
は真である．
M(x) P(x) M(x)⇒P(x)
T
T 		T
F 		T
F
F
F 		T
F 		T
T
次に
「M(x) を満たす すべての x について，M(x) ⇒ P(x)」
について考える． 今 考えているのは， M(x) を満たす対象 x だけなので， M(x) は常に真である． すると， 条件命題の真理値表より M(x) ⇒ P(x) の真偽は， P(x) の真偽に一致する． よって，
「M(x) を満たす すべての x について，M(x) ⇒ P(x)」
と
「M(x) を満たす すべての x について，P(x)」
とは同値になる．
あとは， 上の 2 つを合わせれば， 全体の
「すべての x について，M(x) ⇒ P(x)」
が
「M(x) を満たす すべての x について，P(x)」
と同値になることがわかる．

念のため同値変形の形に書くと， 下のようになる．

∀x [ M(x) ⇒ P(x) ] ⇔ 「すべての x について，M(x) ⇒ P(x)」
　 ⇔ 「M(x) を満たす すべての x について，M(x) ⇒ P(x)」
　 　 ∧ 「M(x) を満たさない すべての x について，M(x) ⇒ P(x)」
　 ⇔ 「M(x) を満たす すべての x について，T ⇒ P(x)」
　 　 ∧ 「M(x) を満たさない すべての x について，F ⇒ P(x)」
　 ⇔ 「M(x) を満たす すべての x について，P(x)」
　 　 ∧ 「M(x) を満たさない すべての x について，T」
　 ⇔ 「M(x) を満たす すべての x について，P(x)」 ∧ T
　 ⇔ 「M(x) を満たす すべての x について，P(x)」

解説その 2  （∃x [ M(x) ∧ P(x) ] を通しての説明）

「M(x) を満たす すべての x について，P(x) である」
の否定，つまり この言明がウソになる場合を考えると， それは
「M(x) を満たす 対象 x で，P(x) でないものが存在する」
ときである． このページの一番上に書かれているように， この主張は，
∃x [ M(x) ∧ ￢P(x) ]
だから， この論理式の否定をとれば， 二重否定律より， もとの
「M(x) を満たす すべての x について，P(x) である」
を表す論理式が得られるはずである． では， この方針で始めから変形を行なってみよう．
「M(x) を満たす すべての x について，P(x) である」
    ⇔   ￢￢「M(x) を満たす すべての x について，P(x) である」
    ⇔   ￢「M(x) を満たす 対象 x で，P(x) でないものが存在する」
    ⇔   ￢ ∃x [ M(x) ∧ ￢P(x) ]
    ⇔   ∀x ￢[ M(x) ∧ ￢P(x) ]   （∵   de Morgan 律）
    ⇔   ∀x [ ￢M(x) ∨ ￢￢P(x) ]   （∵   de Morgan 律）
    ⇔   ∀x [ ￢M(x) ∨ P(x) ]   （∵   二重否定律）
    ⇔   ∀x [ M(x) ⇒ P(x) ]   （∵   条件命題の選言表現）

日常言語での表現

∀x [ M(x) ⇒ P(x) ]
の形の限定命題は， 特に「変域の制限」を意識しない場合でも 非常によく使われる． そして， 日常言語では
∀x [ M(x) ⇒ P(x) ]
は
「（すべての）M は P である」 　 とか 　 「M ならば P である」
などと表現される．
例えば， M(x) を 「x はヒトである」， P(x) を 「x は動物である」 とすると， ∀x [ M(x) ⇒ P(x) ] は
「すべての x について， x がヒトである ならば x は動物である」
ということで， 変域の制限を意識すれば，
「すべてのヒト x について， x は動物である」
と表現できる． これは，日常言語では ふつう
「すべてのヒトは動物である」
と表現されるが， もっと一般には
「ヒトは 動物である」 　 とか 　 「ヒトならば 動物である」
などと表現される．
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