「半順序関係」例 9 の解説

(1)

　　　30　　　　　　　{2,3,5}
　　／｜＼　　　　　　／｜＼
　／　｜　＼　　　　／　｜　＼
６　　10　　15　{2,3}　{2,5} {3,5}
｜＼／　＼／｜　　｜＼／　＼／｜
｜／＼　／＼｜　　｜／＼　／＼｜
２　　３　　５　 {2}　　{3}　{5}
　＼　｜　／　　　　＼　｜　／　
　　＼｜／　　　　　　＼｜／
　　　１　　　　　　　　∅

 D₃₀ から P({2,3,5}) への順序同形写像なら， 例えば，

f(n)	= { q | q は n の素因数 }
	= { 2, 3, 5 } ∩ { q | q は n の約数 }

要素ごとに書き下すと下のようになる．

f(1)	=	∅,
f(2)	=	{2},		f(3)	=	{3},		f(5)	=	{5},
f(6)	=	{2,3},		f(10)	=	{2,5},		f(15)	=	{3,5},
f(30)	=	{2,3,5} .

P({2,3,5}) から D₃₀ への順序同形写像なら， 上の f の逆写像

f −1(A)=

∏ n∊A

n

要素ごとに書き下すと下のようになる．

f −1(∅)	=	1,
f −1({2})	=	2,		f −1({3})	=	3,		f −1({5})	=	5,
f −1({2,3})	=	6,		f −1({2,5})	=	10,		f −1({3,5})	=	15,
f −1({2,3,5})	=	30 .

(2)

　　　　 100　　　　　　　 (2,2)
　　　　／ ＼　　　　　　　／ ＼
　　　20　　50　　　　　(1,2)　(2,1)
　　／ ＼　／ ＼　　　　／ ＼　／ ＼
　4　　 10　　 25　　(0,2) (1,1)  (2,0)
　　＼ ／　＼ ／　　　　＼ ／　＼ ／
　　　2　　　5　　　　　(0,1)　(1,0)
　　　 ＼ ／　　　　　　　　＼ ／
　　　　 1　　　　　　　　　(0,0)

例えば， g(m,n) = 2^m 5ⁿ
要素ごとに書き下すと下のようになる．

g(0,0)	=	1,
g(1,0)	=	2,		g(0,1)	=	5,
g(2,0)	=	4,		g(1,1)	=	10,		g(0,2)	=	25,
g(2,1)	=	20,		g(1,2)	=	50,
g(2,2)	=	100 .

上の g とは異なるが， g(m,n) = 5^m 2ⁿ も順序同形写像である． 要素ごとに書き下すと下のようになる．

g(0,0)	=	1,
g(1,0)	=	5,		g(0,1)	=	2,
g(2,0)	=	25,		g(1,1)	=	10,		g(0,2)	=	4,
g(2,1)	=	50,		g(1,2)	=	20,
g(2,2)	=	100 .