[開設 07/03/23=MM/DD/YY]

2項関係としての写像

現代数学では， 写像は特殊な2項関係として定義される． ここでは それを説明しよう．

写像のグラフ

f が X を定義域とする写像であるとき， 下式で定まる集合 Gf を f のグラフという．
Gf = { ( x, f(x) ) | x∊X } 　( = { ( x, y ) | x∊X, y = f(x) })．
f の定義域も値域も実数の集合のとき， Gf を 2 次元座標に描いたものが， 通常の関数のグラフである．
f を写像とするとき， 次の (∗) が成り立つ．

(∗)　 写像 f と そのグラフ Gf は 1 対 1 対応の関係にある．

写像 f から，そのグラフ Gf は上の式によって 定まるが， グラフ Gf から 写像 f を 再構成できる． まず， f の定義域は

{ x | ∃y s.t. (x, y)∊Gf }
である． 上の集合を Dom(Gf) と書く． グラフの定義から， 定義域 Dom(Gf) の各要素 x に対して，
y = f(x) 　⇔　 ( x, y ) ∊ Gf
が言えるので， f の値もグラフ Gf からわかる（これは 2 次元座標上の通常の関数のグラフから， x に対する f の値を読みとるのと同じことである）．

2項関係としての写像

現代数学（公理的集合論）では， すべての数学的存在物は集合である． そこでは， 写像は， 以下のように グラフ Gf として 定義される． （上の (∗) より， このように定義しても何ら問題は生じない．） すなわち，
f が X から Y への写像である 　⇔　 f ⊆ X × Y かつ ∀x∈X ∃! y∈Y s.t. (x, y)∈f 　　　　　　(∗)
と定義されるのである． つまり， 集合 X から集合 Y への写像は， 条件「∀x∈X ∃! y∈Y s.t. (x, y)∈f」 を満たす， X から Y への特殊な関係なのである． そして， f が写像のとき， x∈X に対して， ( x, y ) ∊ f を満たす一意的な y を f(x) と書く． このとき，
( x, y ) ∊ f 　⇔　 y = f(x)
である．

写像の合成と関係の合成

写像 f : X → Y と g : Y → Z から合成写像 g ∘ f : X → Z を作ることができる． h = g ∘ f としよう．
一方， f と g はそれぞれ関係 f ⊆ X×Y， g ⊆ Y×Z でもあるから， これらの合成関係 f ∘ g ⊆ X×Z を作ることもできる．
さて， h : X → Z も関係 h ⊆ X×Z であり， 合成関係 f ∘ g ⊆ X×Z と比べてみると，
(x, z)∊f ∘ g   ⇔  ∃y∊Y s.t. (x, y)∊f ∧ (y, z)∊g
⇔  ∃y∊Y s.t. y = f(x) ∧ z = g(y)
⇔  z = g(f(x))
⇔  z = h(x)
⇔  ( x, z ) ∊ h
であるから， h=f ∘ g である． つまり， 合成写像 g ∘ f と 合成関係 f ∘ g は同じものなのである． 写像と関係では 合成の書き順が逆になっているのである．

なぜ こんなややこしいことになっているかというと， 私見だが， 写像が関係の特殊ケースだと発見されたのが つい最近で， それまでは 写像と関係は別のものとされていたからではないかと思う．
それぞれの記法としては， 関係は x R y， y S z と書くので， 合成を x (R ∘ S) z と書くのは自然だし， 写像も f(g(x)) を f ∘ g (x) と書くのは自然なのだから．
例えば， はじめから写像の方で， f(x) を x f と書いていれば， 合成も x f g と書けて， 書き順が関係の場合と一致したのだが，，，
（なお，現代数学では， 合成写像 f ∘ g を fg と書く場合があり， また， f(x) を x f と書く研究者もいる．）

逆写像と逆関係

逆写像と逆関係の間の関係についても， 上記の合成ほどは ややこしくないが， 若干 注意が必要である．
写像 f : X → Y を写像とする． 逆写像 f −1 : Y → X が存在するのは， f が全単射のときであり， かつ そのときだけである． 一方， f は関係 f ⊆ X×Y でもあるから， 常に逆関係 f −1 ⊆ Y×X が存在する． この関係 f −1 ⊆ Y×X は必ずしも Y から X への写像ではない． つまり，逆関係 f −1 は， 必ずしも上記の写像の定義 (∗) の右辺（の「かつ」の右側）の条件を満たすとは限らない． 逆関係 f −1 が， (∗) の右辺（の「かつ」の右側）の条件を満たすための必要十分条件は， 写像 f : X→Y が全単射であることである． なぜなら， 逆関係の定義から (y,x)∊f −1 ⇔ (x,y)∊f ⇔ y=f(x) なので，これを (∗) の右辺の「かつ」の右側の条件に代入すると
∀y∊Y ∃!x∊X s.t. (y,x)∊f −1  ⇔  ∀y∊Y ∃!x∊X s.t. y=f(x)
となり， f が X から Y への写像であることに注意すると， 上式右辺は f : X→Y が全単射であることを意味していることが解るからである． また，このとき，逆関係 f −1 は 逆写像 f −1 に一致する． なぜなら， 任意の x∊X, y∊Y について
y=f(x)  ⇔  (x,y)∊f （∵ f は関係であるから）
⇔  (y,x)∊f −1;  （∵ 逆関係の定義）
⇔  x=f −1(y) （∵ f −1 は写像でもあるから）
だからである．
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