[開設 07/03/23=MM/DD/YY]
添数（てんすう）／添字（そえじ）
数学では，
添数 (index) （添字ともいう）
のついた対象を扱うことが多い．
例えば，
数列は自然数 1, 2, 3, . . . で
添字のつけられた数である．
これまで，
添字つき集合族など 添字のついた対象を素朴に扱ってきたが，
この添字のついた対象は
写像として定式化されるのである．
- 例
-
実数列
a1,
a2,
. . . ,
an,
. . .
と
写像 a：ℕ → ℝ の間に
a(n) = an
という自然な 1 対 1 対応が存在する．
- 定義
-
写像 x：Λ → X
を，
Λ
によって添字づけられた族
(family indexed by Λ)
といい，
Λ
を
添字集合
または 添数集合
(index set)，
Λ の要素を
添字
または 添数
(index)
という．
このとき，
x(λ) を
xλ と書き，
この族を
{xλ}λ∈Λ や
{xλ | λ∈Λ }，
{xλ} (添字集合 Λ がわかっているとき)
などで表す．
注：
集合の記法から言えば，
{xλ | λ∈Λ}
は
添字づけられた族
ではなく，
写像 x による集合 Λ の像
x(Λ)
だが，
特に不都合が起こらない限り この書き方も用いる．
添字集合
Λ が
正の整数全体 ℕ
（ときには整数全体 ℤ
や ℤ の部分集合）
であるとき，
添字づけられた族 {xλ} を
列 (sequence) と呼ぶ．
列は
{xn} や
{xn}n=1∞
などと書かれることが多い．
また，
xn は 第 n 項 (n-th term) と呼ばれる．
列 x：ℕ → X
の値域 X が
数の集合，
集合の集合，
関数の集合などのとき，
列 {xn} をそれぞれ
数列，集合列，関数列などと呼ぶ．
添字集合
Λ が
{ 1, 2, . . . , n }
などの
ℕ
や ℤ
の連続する要素からなる有限集合のとき，
{xn} は
有限列 (finite sequence) と呼ばれる．
一般に，数学で ただ「列」と言った場合，
それは有限列ではなく，
上で定義した無限列（無限に項を持つ列）である．
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