[開設 07/03/23=MM/DD/YY]

実数区間の表記法

実数区間については 既に学んでいると思うが， 念のため，ここで整理しておく．

a, b∊ℝ のとき （注：数学では実数全体の集合を ℝ と書くことが多い），
(a, b) = { x | a < x < b }     開区間
[a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }     閉区間
(a, b] = { x | a < x ≤ b }     （左）半開区間
[a, b) = { x | a ≤ x < b }     （右）半開区間
(a, ∞) = { x | a < x }     開区間
[a, ∞) = { x | a ≤ x }     閉区間
(−∞, b) = { x | x < b }     開区間
(−∞, b] = { x | x ≤ b }     閉区間
(−∞, ∞) = ℝ .     開区間
上から 4 つは有界な区間であり， 下 5 つは非有界な区間である．
(a, a) = (a, a] = [a, a) = ∅, 　　　 [a, a] = {a}.
であり， a > b のとき
(a, b) = (a, b] = [a, b) = [a, b] = ∅
である．
開区間の ( の代わりに ] を，) の代わりに [ を使う流儀もある．例えば，]a, b[ = (a, b) である （これは， (a, b) という記法が，開区間を表わす場合も，順序対を表わす場合もあって， 混乱を招くことがありえるからだと思われる）．

(−∞, −∞) や (∞, ∞) という区間は定義されない． もちろん， [−∞, −∞) や [−∞, −∞] や (∞, ∞] や [∞, ∞] も定義されない． なお， 念のために書いておきますが， 定義されないというのは 空集合 ∅ に等しい という意味ではありません． 定義されないというのは， 存在しないということです． （これも念のためですが， 空集合 ∅ は存在します → 「空集合は存在する」）．

∞ は ＋∞ と表記される場合もあり， ＋∞ と −∞ を合わせて ±∞ や ∓∞ とも書く．
∞ と −∞ は実数ではなく， 便宜上の記号に過ぎない （だから実体としては存在しない）． よって， 普通は (a, ∞] や [−∞, b) のような区間は定義されない （だから これらも存在しない）．
±∞ が実数のように扱われる場合もあるが， その場合も ∞ と −∞ は拡張実数 (extended real number) と呼ばれ， 実数ではない．

±∞ が実数のように扱われる場合は， 任意の実数 r∊ℝ と次の関係にあるものとされる （複号同順）．
−∞ < r < ∞,
r + (±∞) = (±∞) + r = (±∞) + (±∞) = ±∞,
r > 0 のとき　 r⋅(±∞) = (±∞)⋅r = (±∞)⋅∞ = ±∞,
r < 0 のとき　 r⋅(±∞) = (±∞)⋅r = (±∞)⋅(∓∞) = (∓∞)⋅(±∞) = ∓∞,
一般に (−∞) + ∞ と ∞ + (−∞) は定義されない． ただし， (±∞)⋅0 と 0⋅(±∞) は
(±∞)⋅0 = 0⋅(±∞) = 0
と定義される場合がある．
このとき， 拡張実数区間は， 全体集合を ℝ = ℝ ∪ { −∞, ∞ } とし， −∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞ として， 上の実数区間と同様に定義され， (a, ∞] や [−∞, b) のような区間も意味をもつ．
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