[開設 07/03/23=DD/MM/YY]
「任意に固定する」とは どういうことか．
例で説明しよう．
X×Y
=
Y×X
⇒
「X
=
Y
または
X
=
∅
または
Y
=
∅」
の証明．
- 証明
-
X×Y=Y×X
を仮定し，X≠∅
かつ Y≠∅
とする．このとき，X=Y
を示せばよい．Y≠∅
だから y0∈Y
なる y0 が存在する．
任意に x∈X
を固定すると，直積の定義から
(x,y0)∈X×Y
なので，仮定 X×Y=Y×X
より (x,y0)∈Y×X
となる．よって，直積の定義から x∈Y
である．以上で，「任意の x について，
x∈X ならば x∈Y」が言えたので，包含関係の定義から
X⊆Y である．同様に Y⊆X
も言えるので，包含関係と等号の関係（「離散システム論」資料「集合」命題 1 (2) ）から
X=Y
である．(証明終）
上の証明で「任意に x∈X
を固定する」のは，
「任意の x について，x∈X ならば
x∈Y」
（記号で書くと
∀x (x∈X ⇒ x∈Y)
であり，これは
X⊆Y
の定義）
を示すためである．
ここで，
「任意の x について，x∈X ならば
x∈Y」
中の
仮定「x∈X」の x
と
結論「x∈Y」の x
は
同一の対象 x
であることに注意されたい．
さて，「任意の x について，x∈X ならば
x∈Y」を示すために，X の要素
x
を任意に取ってきて，この x
が
Y
の要素であることを示すのであるが，「任意に」とは「思うまま」とか「勝手に」という意味だから，取ってくる
x
は
X
の要素なら何でもよい．しかし，何でもよいからといって，証明の途中で勝手に動かしてはいけない（変えてはいけない）．なぜなら，証明しようとしている「任意の
x について，x∈X ならば
x∈Y」中の
仮定「x∈X」の x
と
結論「x∈Y」の x
は同じ対象 x
なのだから．もし，「任意」だから，つまり
何でもよいからといって，証明の途中で勝手に変えてしまうと証明にならなくなってしまう．もう少し具体的に書くと，
「任意に x∈X を固定する」
の
x，
「直積の定義から
(x,y0)∈X×Y
なので」の
x，
「仮定 X×Y=Y×X
より (x,y0)∈Y×X
となる」の
x，
「よって，直積の定義から x∈Y
である」の
x
をバラバラの異なる要素にしてしまったら証明にならない．仮定「任意に
x∈X を固定する」で取ってきた
x は任意なのであるが，結論「よって，直積の定義から
x∈Y
である」が出てくるまで同一の
x に固定されているのである．
「任意に x∈X
を固定する」
という言い回しは，
x
は
X
の要素であり，X
から取ってくるときには勝手に取ってくるが，一度 取ってきたら
その後は変えない
ということを意味している．この
取ってくるときには勝手に取ってくるが，一度 取ってきたら
その後は変えない
ということを強調するために，
任意に
固定する
という言い回しを使うことがあるのである．
上の証明の下線部なら，
x∈X
を任意に固定する，
任意に
x∈X
を固定する，
x
を
X
の任意に固定された要素とする
などといった表現となる．なお，英語なら
Let
x∈X
be fixed arbitrarily.
Let
x
be an arbitrarily fixed element of X
といった感じになる．
離散構造（室伏）のホーム
