[開設 07/31/23=MM/DD/YY]
「形式概念分析」命題 2 (i) の証明
形式概念の定義と命題 1 (iii) より明らかではあるが，
念のため証明を示しておく．
命題 2
(G, M, I)
を文脈とするとき，
(i)
B(G, M, I)
=
{(A″, A′) | A ⊆ G }
=
{(B′, B″) | B ⊆ M }.
証明．
まず，
B(G, M, I)
⊆
{(A″, A′) | A ⊆ G }
を示す．
(A, B) ∊ B(G, M, I)
とすると，
B
=
A′,
A
=
B′
=
A″
なので，
(A, B)
=
(A″, A′)
∊
{(A″, A′) | A ⊆ G }．
よって，
B(G, M, I)
⊆
{(A″, A′) | A ⊆ G }．
次に，
B(G, M, I)
⊇
{(A″, A′) | A ⊆ G }
を示す．
C ⊆ G に対して，
(C ″, C ′) ∊
{(A″, A′) | A ⊆ G }
とするとき，
A=C ″,
B=C ′
とおくと，
命題 1 (iii) より
C ″′=C ′ なので，
A′=C ″′=C ′=B,
B′=C ″=A
となるから，
B(G, M, I)
の定義より
(C ″, C ′)
=
(A, B)
∊
B(G, M, I)．
よって，
B(G, M, I)
⊇
{(A″, A′) | A ⊆ G }．
以上から，
B(G, M, I)
=
{(A″, A′) | A ⊆ G }．
同様に，
B(G, M, I)
=
{(B′, B″) | B ⊆ M }
も示せる．
(Q.E.D.)
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