[開設 07/03/23=MM/DD/YY]
∪ ∅ = ∅
と
∩ ∅ = X
の直観的説明
X
は全体集合．
∪ ∅ = ∅
と
∩ ∅ = X
の証明は
「事前資料」p. 3 例 2.3
で示しているので，
ここでは これら 2 式の直観的な説明を試みよう．
ハンドアウト 命題 2 (8) の
- (a)
A ⊆
B
⇒
∪A ⊆
∪B ,
- (b) A ⊆
B
⇒
∩B ⊆
∩A
を使うのだが，
これらは直観的に理解できているだろうか？
まず，
(a) と (b) を
簡単な例で確認することから始めよう．
A,
B,
C
を集合
（全体集合 X を想定している場合は
X の部分集合）
とし，
|
A
|
=
|
{ A },
|
|
B
|
=
|
{ A,
B },
|
|
C
|
=
|
{ A,
B,
C }
|
とおく．
このとき，
明らかに
A
⊆
B
⊆
C
である．
また，
|
∪A
|
=
|
A
|
|
∪B
|
=
|
A
∪
B,
|
|
∪C
|
=
|
A
∪
B
∪
C
|
であるから，
∪A
⊆
∪B
⊆
∪C
となっていること，すなわち (a) が確認できる．
合併する集合が多くなればなるほど
合併集合は大きくなっている．
別の言い方をすると，
合併する集合が少なくなるほど
合併集合は小さくなるのである．
一方，
|
∩A
|
=
|
A,
|
|
∩B
|
=
|
A
∩
B,
|
|
∩C
|
=
|
A
∩
B
∩
C
|
であるから，
∩C ⊆
∩B ⊆
∩A となっていること，
すなわち (b) が確認できる．
交わりをとる集合が多くなればなるほど
交わりの部分（共通集合）は小さくなっている．
別の言い方をすると，
交わりをとる集合が少なくなるほど
共通集合は大きくなるのである．
さて，
合併する集合が少なくなるほど
合併集合は小さくなる
のだから，
合併する集合が最も少ない場合，
つまり 0 個の場合，
その合併集合 ∪ ∅ は最も小さくなければならない．
最も小さい集合は空集合 ∅ である．
よって，
∪ ∅ = ∅
であることが直観的に説明できた．
同様に，
交わりをとる集合が少なくなるほど
共通集合は大きくなる
のだから，
交わりをとる集合が最も少ない場合，
つまり 0 個の場合，
その共通集合 ∩ ∅ は最も大きくなければならない．
最も大きい集合は全体集合 X である．
よって，
∩ ∅ = X
であることが直観的に説明できた．
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