[開設 07/27/23=MM/DD/YY]
「束」例 10 (iii) の解説
ここでは
束 L の任意の要素 a に対して，
{x∊L | x≤a}
と {x∊L | a≤x}
が L の部分束となることを示す．
L を束，
a∊L とし，
A = {x∊L | x≤a}
とおいて，
A が L の部分束であることを示す．
x,
y∊A を任意に固定する．
このとき，
x≤a かつ y≤a である．
よって，
a は {x,y}
の上界だから x∨y ≤ a となるので，
A の定義より x∨y ∊ A である．
また，
x∧y ≤ x ≤ a なので，
A の定義より x∧y ∊ A である．
以上から，A = {x∊L | x≤a}
は L の部分束となる．
{x∊L | a≤x}
が L の部分束であることも，
双対的に得られる．
例 11 との関連
束 (ℕ, | ) において，
{m∊ℕ | m | n}
=
Dn
なので，
上のことから Dn が (ℕ, | )
の部分束であることが解る．
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