導出作用素 ′ の定義から明らかではあるが，
念のため証明を示しておく．
命題 1
(G, M, I)
を文脈とし，
A ⊆ G,
B ⊆ M
とするとき，
(vi)
A ⊆ B′
⇔
B ⊆ A′
⇔
A×B ⊆ I.
証明．
A ⊆ B′
⇔
A×B ⊆ I
を示す．
A ⊆ B′
⇔
∀g
(g ∊ A ⇒
g ∊ B′)
⇔
∀g ∊ A ; g ∊ B′
⇔
∀g ∊ A,
∀m ∊ B ;
gIm
⇔
∀(g, m) ∊ A×B ;
(g, m) ∊ I
⇔
∀(g, m)
((g, m) ∊ A×B ⇒
(g, m) ∊ I)
⇔
A×B ⊆ I.
B ⊆ A′
⇔
A×B ⊆ I
についても同様．
(Q.E.D.)
上の証明では，
A ⊆ B′
⇔
A×B ⊆ I
と
B ⊆ A′
⇔
A×B ⊆ I
を示すことにより，
A ⊆ B′
⇔
B ⊆ A′
が示されたが，
A ⊆ B′
⇔
B ⊆ A′
を直接に示すこともできる．
A ⊆ B′
⇔
B ⊆ A′
の別証明．
まず，
A ⊆ B′
⇒
B ⊆ A′
を示す．
A ⊆ B′
に配付資料「形式概念分析」命題 1 (i) を適用すると，
B″ ⊆ A′
となる．
配付資料「形式概念分析」命題 1 (ii)
より B ⊆ B″
であるから，先の結果と包含関係 ⊆ の推移性より
B ⊆ A′
となる．
上の証明で
A と B を入れ替えれば，
B ⊆ A′
⇒
A ⊆ B′
が示せるので，
結局
A ⊆ B′
⇔
B ⊆ A′
となる．
(Q.E.D.)
離散構造（室伏）のホーム
