P と Q を集合 X の分割とする． P と Q の交差分割を P ⊓Q で表す． すなわち，
P ⊓Q = { P∩Q | P∊P， Q∊Q }∖{∅} .以下，これが X の分割であることを証明する．
分割の定義より，
∪(P ⊓Q )=X であることと，
P ⊓Q
の異なる 2 要素が互いに素であることを示せばよい．
まず ∪(P ⊓Q )=X を示す．
x∊X とすると，
P が X の分割であることより，
x∊P なる P∊P が存在する．
Q も X の分割であるから，
x∊Q なる Q∊Q も存在する．
したがって，
x∊P∩Q であり，
x∊P∩Q より P∩Q は空でないから
P∩Q∊P ⊓Q である．
よって x∊∪(P ⊓Q )となる．
これで
X⊆∪(P ⊓Q ) が示された．
一方，
P ⊓Q は X の部分集合族だから
∪(P ⊓Q )⊆X である．
以上で
∪(P ⊓Q )=X が言えた．
次に，
P ⊓Q の異なる 2 要素が互いに素であることを示す．
それには，
R, R′∊P ⊓Q を任意に取り，
R∩R′≠∅ を仮定して，
R=R′ を導けばよい．
R, R′∊P ⊓Q より，
ある P, P′∊P と
Q, Q′∊Q があって
R=P∩Q,
R′=P′∩Q′ と書ける．
∅≠R∩R′
=
(P∩Q)∩(P′∩Q′)
=(P∩P′)∩(Q∩Q′)
より，
P∩P′≠∅
かつ
Q∩Q′≠∅
である．
P, P′∊P であって
P が分割なので，
P∩P′≠∅ より P=P′ である．
同様にして Q=Q′ も言える．
よって，
R=P∩Q=P′∩Q′=R′ である．
∪(P ⊓Q )=X の別証明．
∪(P ⊓Q ) = ∪ ({P∩Q | P∊P, Q∊Q } ∖{∅}) = ∪{P∩Q | P∊P, Q∊Q } = ∪P∊P, Q∊Q (P∩Q) = ∪P∊P (∪Q∊Q (P∩Q)) = ∪P∊P (P∩ (∪Q∊Q Q)) = ∪P∊P (P∩X) = ∪P∊P P = X .
